A transferência de calor de um corpo para o ambiente que o rodeia por radição, segundo a lei de Stefan-Boltzmann ^6, é descrita pela equação diferencial
d ud t=-alpha(u^4-T^4)
onde u(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, T é a temperatura absoluta do ambiente e alpha é uma constante que depende dos parâmetros físicos corpo. No entanto, se u é muito maior do que T, então as soluções da Eq. (i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
d ud t=-alpha u^4
Suponha que um corpo com temperatura inicial de 20000^circ K está imerso em um meio à temperatura de 300^circ K e que alpha=2,0 times 10^-12 ^circ K^-3 / s.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de u em função de t.
© Encontre o instante tau no qual u(tau)=600, isto é, o dobro da temperatura ambiente. Até esse instante, oerro na utilização da Eq. (ii) para aproximar as soluções da Eq. (i) não é maior do que 1 %.

Passo 1

O enunciado considera a transferência de calor por radiação para um corpo de temperatura inicial u(0)=20000 K imerso em ambiente a T=300 K, e pede a solução aproximada da ODE du/dt=−α u^4 com α=2,0×10^{−12} K^{−3}/s.

Passo 2

Separamos variáveis em du/u^4 = −α dt e integramos:
Integração dá ∫u^{−4}du = −α ∫dt ⇒ −1/(3u^3) = −α t + C.

Passo 3

Em t=0, u(0)=u_0=20000 K ⇒ C = −1/(3u_0^3). Logo exprimimos u(t) isolando u:
u(t)=\bigl(u_0^{−3}+3α t\bigr)^{−1/3}.

Passo 4

O gráfico de u em função de t é uma curva decrescente, partindo de 20000 K em t=0 e caindo como (const+ t)^{−1/3}.

Passo 5

Para achar τ em que u(τ)=600 K, impomos 600 = (u_0^{−3}+3α τ)^{−1/3}, daí
600^{−3} = u_0^{−3} + 3α τ ⇒ τ = [600^{−3} − 20000^{−3}]/(3α).

Passo 6

Calculando numericamente: 6003=2,16×108, 200003=8×1012, 3α=6×10^{−12}, resultando em τ≈7,7×10^2 s.

Passo 7

O erro relativo da aproximação da Eq.(ii) em relação à Eq.(i) mede-se por (T/u)^4; no instante τ temos (300/600)^4=1/16≈6,25%, acima de 1%.
Portanto, embora tenhamos encontrado τ≈7,7×10^2 s para u(τ)=600 K, o erro na aproximação ultrapassa 1% nesse instante.

Resposta

u(t)=\bigl(u_0^{-3}+3\alpha t\bigr)^{-1/3},
com u_0=20000,\mathrm{K}. Gráfico decrescente ~t^{-1/3}. O tempo para u=600,\mathrm{K} é
tau=600^-3-20000^-33alphaapprox7,7times10^2,s
O erro relativo na aproximação à Eq.(i) nesse instante é (T/u)^4\approx6,25%, superior a 1%.

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