A transferência de calor de um corpo para o ambiente que o rodeia por radição, segundo a lei de Stefan-Boltzmann
, é descrita pela equação diferencial
onde
é a temperatura absoluta do corpo no instante
é a temperatura absoluta do ambiente e
é uma constante que depende dos parâmetros físicos corpo. No entanto, se
é muito maior do que
, então as soluções da Eq. (i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
Suponha que um corpo com temperatura inicial de
está imerso em um meio à temperatura de
e que
.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de
em função de
.
© Encontre o instante
no qual
, isto é, o dobro da temperatura ambiente. Até esse instante, oerro na utilização da Eq. (ii) para aproximar as soluções da Eq. (i) não é maior do que
.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de
© Encontre o instante
Passo 1
O enunciado considera a transferência de calor por radiação para um corpo de temperatura inicial u(0)=20000 K imerso em ambiente a T=300 K, e pede a solução aproximada da ODE du/dt=−α u^4 com α=2,0×10^{−12} K^{−3}/s.
Passo 2
Separamos variáveis em du/u^4 = −α dt e integramos:
Integração dá ∫u^{−4}du = −α ∫dt ⇒ −1/(3u^3) = −α t + C.
Integração dá ∫u^{−4}du = −α ∫dt ⇒ −1/(3u^3) = −α t + C.
Passo 3
Em t=0, u(0)=u_0=20000 K ⇒ C = −1/(3u_0^3). Logo exprimimos u(t) isolando u:
u(t)=\bigl(u_0^{−3}+3α t\bigr)^{−1/3}.
u(t)=\bigl(u_0^{−3}+3α t\bigr)^{−1/3}.
Passo 4
O gráfico de u em função de t é uma curva decrescente, partindo de 20000 K em t=0 e caindo como (const+ t)^{−1/3}.
Passo 5
Para achar τ em que u(τ)=600 K, impomos 600 = (u_0^{−3}+3α τ)^{−1/3}, daí
600^{−3} = u_0^{−3} + 3α τ ⇒ τ = [600^{−3} − 20000^{−3}]/(3α).
600^{−3} = u_0^{−3} + 3α τ ⇒ τ = [600^{−3} − 20000^{−3}]/(3α).
Passo 6
Calculando numericamente: 6003=2,16×108, 200003=8×1012, 3α=6×10^{−12}, resultando em τ≈7,7×10^2 s.
Passo 7
O erro relativo da aproximação da Eq.(ii) em relação à Eq.(i) mede-se por (T/u)^4; no instante τ temos (300/600)^4=1/16≈6,25%, acima de 1%.
Portanto, embora tenhamos encontrado τ≈7,7×10^2 s para u(τ)=600 K, o erro na aproximação ultrapassa 1% nesse instante.
Portanto, embora tenhamos encontrado τ≈7,7×10^2 s para u(τ)=600 K, o erro na aproximação ultrapassa 1% nesse instante.
Resposta
u(t)=\bigl(u_0^{-3}+3\alpha t\bigr)^{-1/3},
com u_0=20000,\mathrm{K}. Gráfico decrescente ~t^{-1/3}. O tempo para u=600,\mathrm{K} é
com u_0=20000,\mathrm{K}. Gráfico decrescente ~t^{-1/3}. O tempo para u=600,\mathrm{K} é
O erro relativo na aproximação à Eq.(i) nesse instante é (T/u)^4\approx6,25%, superior a 1%.