Derive a função f(x)=(ln x)^x x^ln x :
Escolha uma opção:
f^prime(x)=(ln x)^x(x^ln x)(1ln x+ln (ln x)+2 ln xx)

Passo 1

O exercício pede para derivar a função f(x) = (ln x)^x x^{ln x}. O conteúdo principal envolve diferenciação de funções que combinam potência variável e logaritmo natural, e vamos usar logaritmo de ambas as partes (log-differentiation) para simplificar.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em f(x) para usar derivação de produto de forma mais fácil. Temos:
ln f(x)=lnl((ln x)^x x^ln xr)=lnl((ln x)^xr)+lnl(x^ln xr)=xln(ln x)+(ln x)^2

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que d/dx[\ln f(x)]=f’(x)/f(x). Derivando o lado direito:
  • Para x,ln(ln x): d/dx = ln(ln x) + x·(1/(x
    ln x)) = ln(ln x) + 1/ln x.
  • Para (ln x)^2: d/dx = 2
    ln x · (1/x) = 2
    ln x/x.

Passo 4

Somando,
f'(x)f(x)=ln(ln x)+1ln x+2ln xx

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por f(x) recuperamos f’(x):
f'(x)=(ln x)^x x^ln xl(ln(ln x)+1ln x+2ln xxr)

Resposta

f'(x)=(ln x)^x x^ln xl(1ln x+ln(ln x)+2ln xxr)

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