Derive a função
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Passo 1
O exercício pede para derivar a função f(x) = (ln x)^x x^{ln x}. O conteúdo principal envolve diferenciação de funções que combinam potência variável e logaritmo natural, e vamos usar logaritmo de ambas as partes (log-differentiation) para simplificar.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em f(x) para usar derivação de produto de forma mais fácil. Temos:
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que d/dx[\ln f(x)]=f’(x)/f(x). Derivando o lado direito:
- Para x,ln(ln x): d/dx = ln(ln x) + x·(1/(x
ln x)) = ln(ln x) + 1/ln x. - Para (ln x)^2: d/dx = 2
ln x · (1/x) = 2
ln x/x.
Passo 4
Somando,
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por f(x) recuperamos f’(x):