Determine o dominio das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio da função $ f(t) = \sqrt{t^{2} - 1} + \sqrt{1 - t^{2}} $. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de $ t $ a função está definida. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos sobre raízes quadradas e as condições que devem ser atendidas para que elas existam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada de um número só é definida se o número dentro dela for maior ou igual a zero. Então, para a função $ f(t) $ estar definida, as duas expressões dentro das raízes quadradas precisam ser maiores ou iguais a zero. Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira raiz: $ \sqrt{t^{2} - 1} $. Para que essa raiz exista, o que está dentro dela deve ser pelo menos zero:
raizt^2 - 1
Agora, vamos resolver essa desigualdade.

Passo 4

Resolvendo $ t^{2} - 1 \geq 0 $:
t^2 - 1 >= 0
Isso significa que:
t^2 >= 1
Então, os valores de $ t $ que satisfazem essa parte são todos os números menores ou iguais a -1 e maiores ou iguais a 1.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda raiz: $ \sqrt{1 - t^{2}} $. Novamente, para que essa raiz exista:
raiz1 - t^2
Vamos resolver essa desigualdade.

Passo 6

Resolvendo $ 1 - t^{2} \geq 0 $:
1 - t^2 >= 0
O que nos dá:
t^2 <= 1
Portanto, os valores de $ t $ que satisfazem essa parte estão entre -1 e 1.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os valores de $ t $ que satisfazem ambas as condições que encontramos:
  1. $ t \leq -1 $ ou $ t \geq 1 $
  2. $ -1 \leq t \leq 1 $
A interseção dessas duas condições é onde elas se sobrepõem.

Passo 8

Analisando as duas condições:
  • A primeira condição permite $ t = -1 $ e $ t = 1 $.
  • A segunda condição inclui todos os valores entre -1 e 1, inclusive.
Então, o único valor que está em ambas as condições é:
t = -1

Resposta

O domínio da função é $ t = -1 $ e $ t = 1 $.

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