Determine o dominio das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio da função $ f(t) = \sqrt{t^{2} - 1} + \sqrt{1 - t^{2}} $. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de $ t $ a função está definida. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos sobre raízes quadradas e as condições que devem ser atendidas para que elas existam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada de um número só é definida se o número dentro dela for maior ou igual a zero. Então, para a função $ f(t) $ estar definida, as duas expressões dentro das raízes quadradas precisam ser maiores ou iguais a zero. Vamos analisar cada uma separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira raiz: $ \sqrt{t^{2} - 1} $. Para que essa raiz exista, o que está dentro dela deve ser pelo menos zero:
Agora, vamos resolver essa desigualdade.
Passo 4
Resolvendo $ t^{2} - 1 \geq 0 $:
Isso significa que:
Então, os valores de $ t $ que satisfazem essa parte são todos os números menores ou iguais a -1 e maiores ou iguais a 1.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda raiz: $ \sqrt{1 - t^{2}} $. Novamente, para que essa raiz exista:
Vamos resolver essa desigualdade.
Passo 6
Resolvendo $ 1 - t^{2} \geq 0 $:
O que nos dá:
Portanto, os valores de $ t $ que satisfazem essa parte estão entre -1 e 1.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os valores de $ t $ que satisfazem ambas as condições que encontramos:
- $ t \leq -1 $ ou $ t \geq 1 $
- $ -1 \leq t \leq 1 $
A interseção dessas duas condições é onde elas se sobrepõem.
Passo 8
Analisando as duas condições:
- A primeira condição permite $ t = -1 $ e $ t = 1 $.
- A segunda condição inclui todos os valores entre -1 e 1, inclusive.
Então, o único valor que está em ambas as condições é:
Resposta
O domínio da função é $ t = -1 $ e $ t = 1 $.