Determine o dominio das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos o domínio da função $ f(x) = \frac{2x - 1}{\sqrt[5]{8 - x^{2}}} $. O domínio de uma função é basicamente todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender quando o denominador da fração não causa problemas, ou seja, quando ele não é zero ou não gera uma expressão indefinida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da função: $ \sqrt[5]{8 - x^{2}} $. Essa é uma raiz quinta, que é um tipo de raiz ímpar. Diferente das raízes pares (como a raiz quadrada), as raízes ímpares aceitam números negativos. Isso significa que $ 8 - x^{2} $ pode ser qualquer número real, positivo ou negativo, e a raiz quinta estará bem.
Passo 3
No entanto, tem outro ponto importante: não podemos dividir por zero. Então, precisamos garantir que o denominador não seja igual a zero. Vamos resolver a equação para encontrar quando o denominador é zero:
Para que a raiz quinta seja zero, o que está dentro da raiz também precisa ser zero:
Resolvendo para $ x $:
Passo 4
Então, os valores $ x = \sqrt{8} $ e $ x = -\sqrt{8} $ não estão no domínio da função, porque fariam o denominador ser zero, o que não é permitido.
Passo 5
Concluindo, o domínio da função inclui todos os números reais menos esses dois valores que encontramos. Podemos escrever isso em notação de intervalo assim:
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \frac{2x - 1}{\sqrt[5]{8 - x^{2}}} $ é todos os números reais exceto $ x = \sqrt{8} $ e $ x = -\sqrt{8} $. Em notação de intervalo: