Determine o dominio das seguintes funções.
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Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função $ f(s) = \left|\frac{-1 - 7s^{3}}{5 + s^{2}}\right| $. O domínio de uma função são todos os valores de $ s $ para os quais a função está definida. Para resolver isso, precisamos analisar onde a expressão dentro do valor absoluto está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero e onde todas as operações matemáticas são válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função que está dentro do valor absoluto: $ \frac{-1 - 7s^{3}}{5 + s^{2}} $. O principal ponto a considerar aqui é o denominador $ 5 + s^{2} $. Para que uma fração seja definida, o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida na matemática.

Passo 3

Vamos resolver a equação $ 5 + s^{2} = 0 $ para encontrar os valores de $ s $ que fazem o denominador ser zero:
5 + s^2 = 0
Aqui, percebemos que $ s^{2} = -5 $ não tem solução real, já que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, e nunca iguala a um número negativo como -5.

Passo 4

Como não existem valores reais de $ s $ que fazem $ 5 + s^{2} = 0 $, isso significa que o denominador nunca será zero para nenhum número real $ s $. Portanto, a fração $ \frac{-1 - 7s^{3}}{5 + s^{2}} $ está definida para todos os valores reais de $ s $.

Passo 5

Além disso, como estamos lidando com um valor absoluto, não precisamos nos preocupar com o sinal da fração, apenas com a sua existência. Já confirmamos que a fração está sempre definida, então o valor absoluto também estará sempre definido.

Resposta

O domínio da função $ f(s) = \left|\frac{-1 - 7s^{3}}{5 + s^{2}}\right| $ é todos os números reais. Em notação matemática, podemos escrever:
f(s) = |-1 - 7s^35 + s^2| í

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