Derive a função.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é um produto entre a função identidade e uma função exponencial
. O objetivo explícito é obter
, a derivada em relação a
.
Informações dadas: a função é um produto entre a função identidade
Passo 2
O que é derivada (revisão curta e informal): a derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente — ou seja, a taxa instantânea de variação. A definição limite é
mas na prática usamos regras (como produto e cadeia) para calcular derivadas sem fazer limites toda vez.
Passo 3
Regra do produto (fórmula e explicação): se temos duas funções
e
, a derivada do produto é
Isto faz sentido: a variação do produto vem da variação de cada fator somada, ponderada pelo outro fator. Vamos aplicar essa regra porque
é produto de duas funções.
Passo 4
Regra da cadeia para exponencial (fórmula e explicação): se
é uma função, então
No caso de
com
constante, isso dá
. A ideia: a derivada do exponencial é o exponencial multiplicado pela derivada do expoente.
Passo 5
Identificação das funções e derivadas parciais: em
tomamos
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
e para
usamos a regra da cadeia. O expoente é
, cuja derivada é
Portanto
Passo 6
Aplicando a regra do produto e substituindo as derivadas:
Agora simplificamos fatorando
:
Uma forma equivalente, só para ver outra escrita, é
Passo 7
Cheque rápido para ganhar confiança: em
,
e em
,
logo
é ponto crítico (derivada zero). Isso confirma que a expressão faz sentido numericamente.