Derive a função.
f(t)=t e^{-t / 2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \displaystyle f(t)=t e^{-t/2}.
Informações dadas: a função é um produto entre a função identidade t e uma função exponencial e^{-t/2}. O objetivo explícito é obter f'(t), a derivada em relação a t.

Passo 2

O que é derivada (revisão curta e informal): a derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente — ou seja, a taxa instantânea de variação. A definição limite é
f'(t)=\lim_{h\to0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h},
mas na prática usamos regras (como produto e cadeia) para calcular derivadas sem fazer limites toda vez.

Passo 3

Regra do produto (fórmula e explicação): se temos duas funções \displaystyle g(t) e \displaystyle h(t), a derivada do produto é
\big(g(t)h(t)\big)'=g'(t)h(t)+g(t)h'(t).
Isto faz sentido: a variação do produto vem da variação de cada fator somada, ponderada pelo outro fator. Vamos aplicar essa regra porque \displaystyle f(t) é produto de duas funções.

Passo 4

Regra da cadeia para exponencial (fórmula e explicação): se u(t) é uma função, então
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)\,e^{u(t)}.
No caso de e^{at} com a constante, isso dá \dfrac{d}{dt}e^{at}=a e^{at}. A ideia: a derivada do exponencial é o exponencial multiplicado pela derivada do expoente.

Passo 5

Identificação das funções e derivadas parciais: em \displaystyle f(t)=t\cdot e^{-t/2} tomamos
g(t)=t,\qquad h(t)=e^{-t/2}.
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
g'(t)=1,
e para h usamos a regra da cadeia. O expoente é u(t)=-\tfrac{t}{2}, cuja derivada é
u'(t)=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
h'(t)=u'(t)\,e^{u(t)}=-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto e substituindo as derivadas:
f'(t)=g'(t)h(t)+g(t)h'(t)=1\cdot e^{-t/2}+t\cdot\left(-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}\right).
Agora simplificamos fatorando e^{-t/2}:
f'(t)=e^{-t/2}\left(1-\tfrac{t}{2}\right).
Uma forma equivalente, só para ver outra escrita, é
f'(t)=\tfrac{2-t}{2}\,e^{-t/2}.

Passo 7

Cheque rápido para ganhar confiança: em t=0,
f'(0)=e^{0}\left(1-0\right)=1,
e em t=2,
f'(2)=e^{-1}\left(1-1\right)=0,
logo t=2 é ponto crítico (derivada zero). Isso confirma que a expressão faz sentido numericamente.

Resposta

f'(t)=\left(1-\frac{t}{2}\right)e^{-t/2}

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