Expanda em série de Taylor a função f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}} em potências de (x+2)

Passo 1

O que o enunciado pede: expandir a função f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}} em potências de (x+2); isto é, obter a série de Taylor centrada em x=-2 (uma série em (x+2)).\n
Informações dadas: a função f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}. Não há outras condições explícitas no enunciado (mas ao fazer a série teremos que informar o raio de convergência).

Passo 2

Trocar a variável para escrever a função em termos de t:=x+2 (assim a expansão em potências de (x+2) fica natural). Substituindo x=t-2 obtemos:
f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-(t-2))^2}=\frac{1}{(3-t)^2}.
Agora escrevemos \dfrac{1}{(3-t)^2} de forma a usar uma série geométrica conhecida: fatoramos 3^2:
\frac{1}{(3-t)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{\left(1-\dfrac{t}{3}\right)^2}.

Passo 3

Lembrete útil (pequena aula): a série geométrica básica é, para |y|<1,
\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty} y^n.
Derivando termo a termo em y (válido dentro do intervalo de convergência) obtemos
\frac{1}{(1-y)^2}=\sum_{n=1}^\infty n y^{\,n-1}.
Reindexando (trocar n por n+1) resulta na forma mais conveniente
\frac{1}{(1-y)^2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1) y^{n},
válida para |y|<1. Essa é a fórmula que vamos aplicar com y=\dfrac{t}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula com y=\dfrac{t}{3} e lembrando o fator \dfrac{1}{9} que já tiramos, temos
\frac{1}{(3-t)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{\left(1-\dfrac{t}{3}\right)^2} =\frac{1}{9}\sum_{n=0}^\infty (n+1)\left(\frac{t}{3}\right)^n.
Voltando a t=x+2, isto é
f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{9}\cdot\frac{(x+2)^n}{3^n} =\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{3^{n+2}}(x+2)^n.

Passo 5

Interpretação dos coeficientes: o coeficiente do termo (x+2)^n é
a_n=\frac{n+1}{3^{n+2}}.
Como verificação rápida, escrevo os primeiros termos explicitamente (útil na hora da prova para checar):
f(x)=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}(x+2)+\frac{3}{81}(x+2)^2+\frac{4}{243}(x+2)^3+\cdots.

Passo 6

Raio de convergência: a expansão usada exige \left|\dfrac{t}{3}\right|<1, ou seja |t|<3. Como t=x+2, o raio de convergência em torno de x=-2 é:
|x+2|<3.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{3^{n+2}}(x+2)^n,\quad |x+2|<3

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