Estude a Convergência.
Série de função \sum n!(x-4)^{n} (use o teste da raiz ou da razão)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum n!(x-4)^{n},
ou seja, determinar para quais valores de x essa série converge ou diverge. Vou assumir que a série é \sum_{n=0}^{\infty} n!(x-4)^{n} (caso a somação comece em n=1 a conclusão é a mesma para x\neq4; só muda a presença ou não do termo n=0). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{termo geral }a_n = n!(x-4)^{n}.
A instrução autoriza usar o teste da razão ou da raiz; vou usar o teste da razão (d’Alembert) como método principal e mostrar rápida verificação com o teste da raiz como alternativa.

Passo 2

Lembrete didático do teste da razão (d’Alembert): para uma série de termos a_n com a_n\neq0, calcula-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui a_n = n!(x-4)^{n}. Vou aplicar a definição diretamente, explicando cada passo.

Passo 3

Calculemos o quociente \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(n+1)!(x-4)^{\,n+1}}{n!(x-4)^{n}}\right|.
Agora simplificamos fatores conhecidos: (n+1)! = (n+1)\cdot n! e (x-4)^{n+1}/(x-4)^n = x-4. Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = (n+1)\,|x-4|.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty} (n+1)\,|x-4|.
Analise este limite dependendo do valor de |x-4|:
  • Se |x-4|>0, então (n+1)\,|x-4|\to\infty quando n\to\infty, portanto L=\infty.
  • Se |x-4|=0 (isto é, x=4), então (n+1)\,|x-4|=0 para todo n, logo L=0.

Passo 5

Interpretação pelo teste da razão:
  • Para |x-4|>0 temos L=\infty>1. Pelo teste da razão, a série diverge para todo x tal que |x-4|>0, isto é, para todo x\neq4.
  • Para x=4 temos L=0<1. Pelo teste da razão, a série converge absolutamente (na prática, todos os termos com n\ge1 são zero quando x=4, e se a soma começa em n=0 o único termo não-nulo é o de n=0). Portanto em x=4 a série converge.

Passo 6

Comentário pedagógico extra (teste da raiz como alternativa curta): o teste da raiz calcula
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!}\;|x-4|.
Uma estimativa simples mostra que \sqrt[n]{n!}\to\infty: para n\ge2 há pelo menos n/2 fatores entre n/2 e n em n!, logo
n! \ge \left(\frac{n}{2}\right)^{\!n/2}
e então
\sqrt[n]{n!} \ge \left(\frac{n}{2}\right)^{1/2}\to\infty.
Assim \sqrt[n]{|a_n|}\to\infty\cdot|x-4|, que é \infty para |x-4|>0 e 0 para |x-4|=0. O teste da raiz dá a mesma conclusão: divergência para x\neq4 e convergência (trivial) para x=4.

Passo 7

Conclusão final e interpretação: a série só pode convergir em x=4. Em todos os outros pontos x\neq4 a série diverge porque os coeficientes n! crescem muito rápido (muito mais rápido do que qualquer potência exponencial em n), tornando os termos não tendentes a zero e o quociente |a_{n+1}/a_n| tendendo a infinito.

Resposta

Converge apenas para x=4.
Diverge para todo x\neq4.
Raio de convergência R=0.

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