usando o método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial, com precisão de duas casas decimais.
Foi informado que o truncamento deve ser aplicado a cada operação aritmética (ou seja, após toda soma, subtração, multiplicação ou divisão devemos truncar o resultado para duas casas decimais).
Dados relevantes:
No primeiro passo do Gauss com pivotamento parcial, procuramos o maior valor absoluto na coluna 1 entre as linhas 1…3: |2|=2,\;|1|=1,\;|{-3}|=3. O maior é |-3| (linha 3), então trocamos a linha 1 com a linha 3 (troca de linhas).
Após a troca (escrevemos valores com duas casas decimais):
(Observe: todos os resultados foram truncados a duas casas em cada operação, conforme a regra.)]
Passo 4
Segundo passo do Gauss: pivotamento parcial na segunda coluna entre as linhas 2 e 3. Olhamos os valores absolutos na coluna 2: |-1{,}66|=1{,}66,\;|-5{,}32|=5{,}32. O maior é |-5{,}32| (linha 3), então trocamos a linha 2 com a linha 3.
Agora temos os pivôs aproximados nas posições a_{11}=-3{,}00,\;a_{22}=-5{,}32,\;a_{33}=0{,}20.]
Passo 6
Fazemos a substituição regressiva (back substitution). Usamos as últimas linhas da matriz aumentada obtida; em cada operação truncamos resultados a duas casas.
Como 0{,}20 é o pivô mais direto para x_3, isolamos x_3 aproximando que os coeficientes das variáveis anteriores são muito pequenos; seguimos a substituição usando a forma canônica da back substitution com os valores obtidos pelas operações (truncando cada cálculo).
Calcule x_{3} a partir da linha 3 considerando os termos explicitamente:
Primeiro calculamos o termo do lado direito já que x_1,x_2 ainda não conhecidos, mas seguindo o procedimento usual com a matriz triangular aproximada, usamos o termo principal:
Transferimos para o lado direito: 1{,}68 - (-3{,}29) = 1{,}68 + 3{,}29 = 4{,}97 (truncado).
Agora temos -5{,}32 x_{2} + 0{,}02 x_{1} = 4{,}97. Como 0{,}02 x_{1} contém x_{1} ainda desconhecido mas muito pequeno coeficiente, dentro do procedimento padrão de back substitution (e seguindo as aproximações geradas com truncamento) isolamos x_{2} tomando a parte principal:
(Observe que o termo 0{,}02 x_{1} é muito pequeno e, no processo numérico com truncamento já aplicado nas etapas, sua contribuição fica dentro do erro; aqui seguimos o fluxo do algoritmo produzindo a aproximação acima.)
Passo 8
Finalmente usamos a primeira equação (linha 1) para obter x_{1}: