Derive a função f(x)=(cos (x))^x^2, x in(0, pi / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função para no intervalo . Isso envolve cálculo de derivadas de funções que têm uma base e um expoente que dependem de . Para resolver isso, vamos usar logaritmos e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a derivação tirando o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda a transformar a função exponencial em uma forma mais manejável:
ln(f(x)) = ln( (cos(x))^x^2 )
Usando a propriedade dos logaritmos ln(f(x)) = x^2 cdot ln(cos(x)) , podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a ddx ln(f(x)) = f'(x)f(x) . No lado esquerdo, usando a regra da cadeia, temos:
ddx ( x^2 cdot ln(cos(x)) ) = 2x cdot ln(cos(x)) + x^2 cdot ddx ln(cos(x))
No lado direito, precisamos usar a regra do produto, já que temos multiplicando . A derivada será:

Passo 4

Vamos calcular a derivada de ddx ln(cos(x)) = -sin(x)cos(x) = -tan(x) . Usando a regra da cadeia novamente:
2x cdot ln(cos(x)) + x^2 cdot (-tan(x)) = 2x ln(cos(x)) - x^2 tan(x)
Substituindo de volta na equação anterior:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
f'(x)f(x) = 2x ln(cos(x)) - x^2 tan(x)
Para encontrar f'(x) = f(x) cdot (2x ln(cos(x)) - x^2 tan(x)) , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 6

Lembrando que f'(x) = (cos(x))^x^2 cdot (2x ln(cos(x)) - x^2 tan(x)) , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = (cos(x))^x^2 cdot (2x ln(cos(x)) - x^2 tan(x))

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