Derive a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função
para
no intervalo
. Isso envolve cálculo de derivadas de funções que têm uma base e um expoente que dependem de
. Para resolver isso, vamos usar logaritmos e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a derivação tirando o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda a transformar a função exponencial em uma forma mais manejável:
Usando a propriedade dos logaritmos
, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, usando a regra da cadeia, temos:
No lado direito, precisamos usar a regra do produto, já que temos
multiplicando
. A derivada será:
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra da cadeia novamente:
Substituindo de volta na equação anterior:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é: