Encontre f^prime(x) utilizando a fórmula da definição:
f(x)=42 x-5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f '(x) de f(x)=\frac{4}{2x-5} usando a definição de derivada, ou seja, o limite do quociente incremental. Vamos usar o conceito de limite do quociente f(x+h)-f(x)h.

Passo 2

Escrevemos a definição da derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Calculamos f(x+h) e montamos o quociente:
f(x+h)=42(x+h)-5=42x+2h-5,
f(x+h)-f(x)h=42x+2h-5-42x-5h

Passo 4

Simplificamos a diferença de frações no numerador usando denominador comum:
4(2x-5)-4(2x+2h-5)(2x+2h-5)(2x-5)=8x-20-8x-8h+20(2x+2h-5)(2x-5)=-8h(2x+2h-5)(2x-5)
Dividindo por h:
-8hh(2x+2h-5)(2x-5)=-8(2x+2h-5)(2x-5)

Passo 5

Agora aplicamos o limite quando hto0. Como 2x+2h-5to2x-5, fica:
f'(x)=-8(2x-5)^2

Resposta

-\nabla{8}{(2x-5)^{2}}

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