Seja f(x, y)=raizy+cos ^2 x.
Mostre que f(x, y) é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa mostrar que ela é diferenciável no ponto . Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente à diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto, e também ver se a função se comporta bem perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x raizy + cos^2 x = 12raizy + cos^2 x cdot 2cos x (-sin x) = -cos x sin xraizy + cos^2 x em relação a fy(x, y) = partialpartial y raizy + cos^2 x = 12raizy + cos^2 x e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto fx(0, 0) = -cos 0 cdot sin 0raiz0 + cos^2 0 = -1 cdot 0raiz1 = 0 .
Para fy(0, 0) = 12raiz0 + cos^2 0 = 12 cdot 1 = 12 :
Para :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais no ponto , precisamos verificar se elas são contínuas nesse ponto. Olhando para as expressões das derivadas, vemos que tanto quanto são funções contínuas em torno de , já que a raiz quadrada no denominador nunca é zero próximo a .

Passo 5

Com as derivadas parciais existentes e contínuas em , podemos concluir, de acordo com os critérios de diferenciabilidade, que a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função é diferenciável em .

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