Seja
.
Mostre que
é diferenciável em
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa mostrar que ela é diferenciável no ponto
. Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente à diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto, e também ver se a função se comporta bem perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais no ponto
, precisamos verificar se elas são contínuas nesse ponto. Olhando para as expressões das derivadas, vemos que tanto
quanto
são funções contínuas em torno de
, já que a raiz quadrada no denominador nunca é zero próximo a
.
Passo 5
Com as derivadas parciais existentes e contínuas em
, podemos concluir, de acordo com os critérios de diferenciabilidade, que a função
é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável em
.