Determine,
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é
. - Queremos o valor do limite quando
tende a .
Nenhuma outra informação foi fornecida.
Passo 2
Vamos usar um resultado padrão e muito útil: o limite
Vou justificar esse resultado de forma simples usando desigualdades (teorema do confronto). Para
vale a desigualdade clássica
Explicando rápido: isso vem de comparações geométricas no círculo unitário (o arco tem comprimento
, o segmento vertical tem comprimento
e a secante/tangente é maior que o arco), mas o importante aqui é a desigualdade em si. Dividindo tudo por
(positivo) obtemos
Como
, a desigualdade
é equivalente a
Juntando as duas desigualdades chegamos a
Agora, ao fazer
temos
, então por confronto
Para
a razão
é par (mesmo valor para
e
), logo o limite lateral à esquerda também vale
. Assim
Passo 3
Agora faça a substituição simples para adaptar esse resultado à nossa expressão: defina
Quando
temos
. Reescrevendo a função em
:
Multiplicando e dividindo por
obtemos
Passo 4
Como
temos
. Assim
Tomando limite quando
(o que equivale a
) e usando que
, pela propriedade de limite do produto obtemos
Resposta
2020