Determine,
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2020 x)}{x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2020x)}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{\sin(2020x)}{x}.
  • Queremos o valor do limite quando x tende a 0.
    Nenhuma outra informação foi fornecida.

Passo 2

Vamos usar um resultado padrão e muito útil: o limite
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Vou justificar esse resultado de forma simples usando desigualdades (teorema do confronto). Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade clássica
\sin u < u < \tan u.
Explicando rápido: isso vem de comparações geométricas no círculo unitário (o arco tem comprimento u, o segmento vertical tem comprimento \sin u e a secante/tangente é maior que o arco), mas o importante aqui é a desigualdade em si. Dividindo tudo por u (positivo) obtemos
\frac{\sin u}{u} < 1 < \frac{\tan u}{u}.
Como \frac{\tan u}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}, a desigualdade u<\tan u é equivalente a
\cos u < \frac{\sin u}{u}.
Juntando as duas desigualdades chegamos a
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1\qquad\text{para }0<u<\tfrac{\pi}{2}.
Agora, ao fazer u\to 0^+ temos \cos u\to 1, então por confronto
\lim_{u\to 0^+}\frac{\sin u}{u}=1.
Para u\to 0^- a razão \frac{\sin u}{u} é par (mesmo valor para u e -u), logo o limite lateral à esquerda também vale 1. Assim
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 3

Agora faça a substituição simples para adaptar esse resultado à nossa expressão: defina
u=2020x.
Quando x\to 0 temos u\to 0. Reescrevendo a função em u:
\frac{\sin(2020x)}{x}=\frac{\sin u}{x}.
Multiplicando e dividindo por u obtemos
\frac{\sin(2020x)}{x}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{u}{x}.

Passo 4

Como u=2020x temos \dfrac{u}{x}=2020. Assim
\frac{\sin(2020x)}{x}=2020\cdot\frac{\sin u}{u}.
Tomando limite quando x\to 0 (o que equivale a u\to 0) e usando que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1, pela propriedade de limite do produto obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2020x)}{x}=2020\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=2020\cdot 1.

Resposta

2020

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