Derive a função f(x)=ln (x^2+raizx), x>0, e simplifique.

Passo 1

Beleza, a gente precisa derivar a função $ f(x) = \ln\left(x^{2} + \sqrt{x}\right) $ onde $ x > 0 $. Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia, para encontrar essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Aqui temos o logaritmo natural ($ \ln $) de uma expressão dentro dele, que é $ x^{2} + \sqrt{x} $. Isso significa que temos uma função composta, onde uma função está dentro da outra.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que, para derivar $ \ln(g(x)) $, a derivada é $ \frac{g’(x)}{g(x)} $. Ou seja, derivamos a função interna $ g(x) $ e dividimos pela própria $ g(x) $.

Passo 4

Vamos identificar $ g(x) $:
g(x)
Agora, vamos derivar $ g(x) $.

Passo 5

Derivando cada termo de $ g(x) $:
  • A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ (usando a regra do poder, onde a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $).
  • A derivada de $ \sqrt{x} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ (já que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, aplicando a regra do poder).
Então:
g(x)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = g'(x)g(x) = 2x + 12raizxx^2 + raizx

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2x + dfrac12raizxx^2 + raizx

Exercícios relacionados