Derive a função
, e simplifique.
Passo 1
Beleza, a gente precisa derivar a função $ f(x) = \ln\left(x^{2} + \sqrt{x}\right) $ onde $ x > 0 $. Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia, para encontrar essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função. Aqui temos o logaritmo natural ($ \ln $) de uma expressão dentro dele, que é $ x^{2} + \sqrt{x} $. Isso significa que temos uma função composta, onde uma função está dentro da outra.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que, para derivar $ \ln(g(x)) $, a derivada é $ \frac{g’(x)}{g(x)} $. Ou seja, derivamos a função interna $ g(x) $ e dividimos pela própria $ g(x) $.
Passo 4
Vamos identificar $ g(x) $:
Agora, vamos derivar $ g(x) $.
Passo 5
Derivando cada termo de $ g(x) $:
- A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ (usando a regra do poder, onde a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $).
- A derivada de $ \sqrt{x} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ (já que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, aplicando a regra do poder).
Então:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
A derivada da função é: