Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma solução particular da seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares não homogêneas, e vamos precisar usar o método da sugestão de solução particular para cada termo do lado direito da equação. Ou seja, vamos tratar separadamente o
e o
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observando os termos com
, temos:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar soluções particulares para cada parte do lado direito da equação. Ou seja, uma para
e outra para
. No final, a solução particular geral será a soma dessas duas.
Passo 4
Primeira Parte:
Para essa parte, usamos a sugestão de solução particular baseada na forma do membro não homogêneo. Já que temos um polinômio de grau 1 multiplicado por
, nossa sugestão será:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Vamos derivar
:
Substituindo na equação
:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para o termo constante:
Então, a solução particular para essa parte é:
Passo 5
Segunda Parte:
Agora, vamos tratar o termo
. Usamos a sugestão:
Derivando:
Substituindo na equação
:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Então, a solução particular para essa parte é:
Passo 6
Solução Particular Geral
Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução particular da equação dada é: