Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
y^prime prime-3 y+2 y=(1+x) e^3 x+sen 2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma solução particular da seguinte equação diferencial:
y'' - 3y + 2y = (1 + x) e^3x + sin 2x
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares não homogêneas, e vamos precisar usar o método da sugestão de solução particular para cada termo do lado direito da equação. Ou seja, vamos tratar separadamente o (1 + x) e^3x e o sin 2x.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observando os termos com y, temos:
y'' - 3y + 2y = y'' - y = (1 + x) e^3x + sin 2x
Então, a equação fica:
y'' - y = (1 + x) e^3x + sin 2x

Passo 3

Agora, vamos encontrar soluções particulares para cada parte do lado direito da equação. Ou seja, uma para (1 + x) e^3x e outra para sin 2x. No final, a solução particular geral será a soma dessas duas.

Passo 4

Primeira Parte: (1 + x) e^3x
Para essa parte, usamos a sugestão de solução particular baseada na forma do membro não homogêneo. Já que temos um polinômio de grau 1 multiplicado por e^3x, nossa sugestão será:
yp^(1) = (A x + B) e^3x
Onde A e B são constantes que precisamos determinar.
Vamos derivar yp^(1):
yp^(1)' = A e^3x + (A x + B) cdot 3 e^3x = (A + 3A x + 3B) e^3x
yp^(1)'' = 3A e^3x + (3A e^3x + 9A x e^3x + 9B e^3x) = (6A + 9A x + 9B) e^3x
Substituindo na equação y'' - y = (1 + x) e^3x:
(6A + 9A x + 9B) e^3x - (A x + B) e^3x = (1 + x) e^3x
Simplificando:
(6A + 9A x + 9B - A x - B) e^3x = (1 + x) e^3x
(6A + 8A x + 8B) e^3x = (1 + x) e^3x
Igualando os coeficientes:
Para x:
8A = 1 Rightarrow A = 18
Para o termo constante:
6A + 8B = 1 Rightarrow 6 cdot 18 + 8B = 1 Rightarrow 34 + 8B = 1 Rightarrow 8B = 14 Rightarrow B = 132
Então, a solução particular para essa parte é:
yp^(1) = (18 x + 132) e^3x

Passo 5

Segunda Parte: sin 2x
Agora, vamos tratar o termo sin 2x. Usamos a sugestão:
yp^(2) = C cos 2x + D sin 2x
Derivando:
yp^(2)' = -2C sin 2x + 2D cos 2x
yp^(2)'' = -4C cos 2x - 4D sin 2x
Substituindo na equação y'' - y = sin 2x:
(-4C cos 2x - 4D sin 2x) - (C cos 2x + D sin 2x) = sin 2x
Simplificando:
(-5C cos 2x -5D sin 2x) = sin 2x
Igualando os coeficientes:
Para cos 2x:
-5C = 0 Rightarrow C = 0
Para sin 2x:
-5D = 1 Rightarrow D = -15
Então, a solução particular para essa parte é:
yp^(2) = -15 sin 2x

Passo 6

Solução Particular Geral
Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
yp = yp^(1) + yp^(2) = (18 x + 132) e^3x - 15 sin 2x

Resposta

A solução particular da equação dada é:
yp = (18 x + 132) e^3x - 15 sin 2x

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