Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
y^prime prime+6 y^prime=sen x+x e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
y'' + 6 y' = sin x + x e^2x
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares, soluções homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação (a parte não homogênea) é composto por funções como seno, exponenciais e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte homogênea e a parte não homogênea da equação. A parte homogênea é:
y'' + 6 y' = 0
E a parte não homogênea é:
sin x + x e^2x
Nossa meta aqui é encontrar uma solução particular que satisfaça a equação completa, ou seja, que envolva tanto sin x quanto x e^2x no lado direito.

Passo 3

Vamos encontrar a solução particular para cada termo da parte não homogênea separadamente e depois somá-las. Primeiro, vamos lidar com sin x.
Para sin x, suponhamos que a solução particular tenha a forma:
yp1 = A cos x + B sin x
onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos derivar yp1 para substituir na equação original. As derivadas são:
yp1' = -A sin x + B cos x
yp1'' = -A cos x - B sin x
Substituindo yp1, yp1' e yp1'' na equação homogênea:
(-A cos x - B sin x) + 6 (-A sin x + B cos x) = sin x

Passo 5

Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
-A cos x - B sin x - 6A sin x + 6B cos x = sin x
(-A + 6B) cos x + (-B - 6A) sin x = 0 cos x + 1 sin x
Agora, igualando os coeficientes dos termos de cos x e sin x:
-A + 6B = 0
-B - 6A = 1

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
Primeira equação:
-A + 6B = 0
A = 6B
Substituindo A = 6B na segunda equação:
-B - 6(6B) = 1
-B - 36B = 1
-37B = 1
B = -137
Então,
A = 6 times -137 = -637

Passo 7

Agora, temos os valores de A e B. Assim, a solução particular para sin x é:
yp1 = -637 cos x - 137 sin x

Passo 8

Vamos agora encontrar a solução particular para o termo x e^2x. Para esse termo, supomos uma solução da forma:
yp2 = (C x + D) e^2x
onde C e D são constantes a serem determinadas.

Passo 9

Derivando yp2:
Primeira derivada:
yp2' = (C x + D) cdot 2 e^2x + C e^2x = (2C x + 2D + C) e^2x
yp2' = (2C x + (2D + C)) e^2x
Segunda derivada:
yp2'' = (2C x + (2D + C)) cdot 2 e^2x + 2C e^2x = (4C x + 4D + 2C + 2C) e^2x
yp2'' = (4C x + 4D + 4C) e^2x

Passo 10

Substituindo yp2 e suas derivadas na equação original:
y'' + 6 y' = sin x + x e^2x
Focando na parte x e^2x:
(4C x + 4D + 4C) e^2x + 6 (2C x + 2D + C) e^2x = x e^2x

Passo 11

Vamos expandir:
(4C x + 4D + 4C) e^2x + (12C x + 12D + 6C) e^2x = x e^2x
(4C x + 12C x) + (4D + 12D) + (4C + 6C) e^2x = x e^2x
(16C x) + (16D) + (10C) e^2x = x e^2x

Passo 12

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para x e^2x:
16C = 1
C = 116
Para e^2x:
10C = 0
Mas já encontramos C = 116, então:
10 times 116 + 16D = 0
1016 + 16D = 0
58 + 16D = 0
16D = -58
D = -5128

Passo 13

Com C = 116 e D = -5128, a solução particular para x e^2x é:
yp2 = ( 116 x - 5128 ) e^2x

Passo 14

Agora, somando as duas soluções particulares encontradas:
yp = yp1 + yp2 = -637 cos x - 137 sin x + ( 116 x - 5128 ) e^2x

Resposta

A solução particular da equação y'' + 6 y' = sin x + x e^2x é:
yp = -637 cos x - 137 sin x + ( 116 x - 5128 ) e^2x

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