Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares, soluções homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação (a parte não homogênea) é composto por funções como seno, exponenciais e polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte homogênea e a parte não homogênea da equação. A parte homogênea é:
E a parte não homogênea é:
Nossa meta aqui é encontrar uma solução particular que satisfaça a equação completa, ou seja, que envolva tanto
quanto
no lado direito.
Passo 3
Vamos encontrar a solução particular para cada termo da parte não homogênea separadamente e depois somá-las. Primeiro, vamos lidar com
.
Para
, suponhamos que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos derivar
para substituir na equação original. As derivadas são:
Substituindo
,
e
na equação homogênea:
Passo 5
Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Agora, igualando os coeficientes dos termos de
e
:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
Primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
Passo 7
Agora, temos os valores de
e
. Assim, a solução particular para
é:
Passo 8
Vamos agora encontrar a solução particular para o termo
. Para esse termo, supomos uma solução da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 9
Derivando
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 10
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Focando na parte
:
Passo 11
Vamos expandir:
Passo 12
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Mas já encontramos
Passo 13
Com
e
, a solução particular para
é:
Passo 14
Agora, somando as duas soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução particular da equação
é: