Seja
uma função diferenciável em
com
.
Seja
. A partir destas informações, pode-se afirmar que
Observação: nas opções abaixo estamos denotando
. Assim, por exemplo,
.
possui inversa local
em uma vizinhança de
e
.
Seja
Observação: nas opções abaixo estamos denotando
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável
com
,
, define
e pergunta sobre a existência de inversa local em
e o valor de
, onde
. Vamos usar teoria de função inversa e derivada de inversa.
Passo 2
Para ver se
é invertível em
, calculamos sua derivada:
Portanto em
temos
Passo 3
Como
, pelo Teorema da Função Inversa existe de fato uma inversa local
em torno de
. O ponto
correspondente é
Passo 4
Para derivada da inversa vale
onde
e
. Logo
Passo 5
A afirmação dada diz que
, mas na verdade esse valor vale em
, não em
. Portanto a afirmação está incorreta.
Resposta
A afirmação é falsa. O correto é que existe inversa local e
, não
.