Seja f uma função diferenciável em R com f(2)=9, f^prime(2)=-165, f(4)=3 e f^prime(4)=8.
Seja y=g(x)=f(x)+3 x. A partir destas informações, pode-se afirmar que
Observação: nas opções abaixo estamos denotando h=g^-1. Assim, por exemplo, h^prime(y)=(g^-1)^prime(y).
y=g(x) possui inversa local x=h(y) em uma vizinhança de x=2 e h^prime(2)=-5.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f com f(2)=9, f'(2)=-16/5, define g(x)=f(x)+3x e pergunta sobre a existência de inversa local em x=2 e o valor de h'(2), onde h=g^-1. Vamos usar teoria de função inversa e derivada de inversa.

Passo 2

Para ver se g é invertível em x=2, calculamos sua derivada:
g'(x)=f'(x)+3
Portanto em x=2 temos
g'(2)=f'(2)+3=-tfrac165+3=-tfrac165+tfrac155=-tfrac15

Passo 3

Como g'(2)neq0, pelo Teorema da Função Inversa existe de fato uma inversa local h=g^-1 em torno de x=2. O ponto y0 correspondente é
y0=g(2)=f(2)+3cdot2=9+6=15

Passo 4

Para derivada da inversa vale
h'(y0)=l(g^-1r)'(y0)=1g'(x0)
onde x0=2 e y0=15. Logo
h'(15)=1g'(2)=1-1/5=-5

Passo 5

A afirmação dada diz que h'(2)=-5, mas na verdade esse valor vale em y=15, não em y=2. Portanto a afirmação está incorreta.

Resposta

A afirmação é falsa. O correto é que existe inversa local e h'(15)=-5, não h'(2).

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