Derive a função f(x)=a^e^x, onde a>0, a neq 1, x in R.
f^prime(x)=(ln (a))^2 a^e^x e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=a^e^x, com a>0 e aneq1. O assunto aqui é a derivação de funções compostas envolvendo exponencial de base a e a função e^x. Vamos precisar da regra da cadeia e da fórmula ddul(a^ur)=a^uln(a).

Passo 2

Primeiro reconhecemos que f(x) é composta: f(x)=hl(g(x)r), em que definimos g(x)=e^x e h(u)=a^u. Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'(g(x))cdot g'(x)

Passo 3

Em seguida derivamos cada parte:
– Para h(u)=a^u,
h'(u)=a^uln(a)
Avaliando em u=g(x)=e^x, temos
h'(g(x))=a^e^xln(a)

Passo 4

– Para g(x)=e^x,
g'(x)=e^x

Passo 5

Finalmente, multiplicamos essas derivadas segundo a regra da cadeia:
f'(x)=l(a^e^xln(a)r)cdot e^x=a^e^xe^xln(a)

Resposta

f'(x)=a^e^xe^xln(a)

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