Derive a função.
9. f(x)=\operatorname{sen} x \ln (5 x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f definida por
f(x)=\operatorname{sen} x \ln (5 x).
Pergunta: encontrar f'(x). Informação relevante: a função é um produto de duas funções: \operatorname{sen} x e \ln(5x). Também é importante notar o domínio: \ln(5x) exige 5x>0, logo x>0. Esse detalhe vale para declarar onde f'(x) está definida.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
(u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'.
Explicando bem: pense que ao multiplicar duas funções, a variação do produto tem duas contribuições — a variação de u mantendo v e a variação de v mantendo u. Por isso somamos u'v e uv'. Essa é uma regra básica que você deve lembrar para provas.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=\operatorname{sen} x,\qquad v(x)=\ln(5x).
Agora precisamos de u'(x) e v'(x).
Para u(x)=\operatorname{sen} x (ou \sin x em notação padrão), a derivada é
u'(x)=\cos x.
Breve justificativa didática: a derivada de \sin x é \cos x porque, pela definição de derivada e limites da trigonometria, a taxa de variação instantânea da seno é o cosseno. Isso é uma fórmula fundamental que aparece desde cálculo I.

Passo 4

Agora v(x)=\ln(5x). Podemos calcular v'(x) de duas formas equivalentes.
Método 1 — regra da cadeia: escreva v(x)=\ln(t) com t=5x. A derivada de \ln t em relação a t é 1/t, e a derivada de t=5x em relação a x é 5. Pela regra da cadeia:
v'(x)=\frac{1}{t}\cdot t'=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{1}{x}.
Método 2 — propriedade do logaritmo: \ln(5x)=\ln 5+\ln x. Como \ln 5 é constante, sua derivada é 0, e a derivada de \ln x é 1/x. Logo v'(x)=1/x. Ambas as vias chegam ao mesmo resultado:
v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto com u, v, u' e v' encontrados:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=\cos x\cdot \ln(5x)+\operatorname{sen} x\cdot\frac{1}{x}.
Escrevendo de forma mais habitual:
f'(x)=\cos x\,\ln(5x)+\frac{\sin x}{x}.
Lembre-se: essa expressão é válida para x>0, que é o domínio onde f (e portanto f') está definida devido ao logaritmo.

Resposta

f'(x)=\cos x\,\ln(5x)+\frac{\sin x}{x}

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