Derive a função.
9.
9.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
definida por
Pergunta: encontrar
. Informação relevante: a função é um produto de duas funções:
e
. Também é importante notar o domínio:
exige
, logo
. Esse detalhe vale para declarar onde
está definida.
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto. Se tivermos duas funções
e
, a derivada do produto é
Explicando bem: pense que ao multiplicar duas funções, a variação do produto tem duas contribuições — a variação de
mantendo
e a variação de
mantendo
. Por isso somamos
e
. Essa é uma regra básica que você deve lembrar para provas.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Agora precisamos de
e
.
Para
(ou
em notação padrão), a derivada é
Breve justificativa didática: a derivada de
é
porque, pela definição de derivada e limites da trigonometria, a taxa de variação instantânea da seno é o cosseno. Isso é uma fórmula fundamental que aparece desde cálculo I.
Passo 4
Agora
. Podemos calcular
de duas formas equivalentes.
Método 1 — regra da cadeia: escreva
com
. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Pela regra da cadeia:
Método 2 — propriedade do logaritmo:
. Como
é constante, sua derivada é
, e a derivada de
é
. Logo
. Ambas as vias chegam ao mesmo resultado:
Passo 5
Aplicando a regra do produto com
,
,
e
encontrados:
Substituindo:
Escrevendo de forma mais habitual:
Lembre-se: essa expressão é válida para
, que é o domínio onde
(e portanto
) está definida devido ao logaritmo.