Passo 1
O enunciado dá a relação
e pede que a gente trabalhe com essa igualdade. A interpretação mais natural — e a que eu vou usar — é: encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja
, expressa em função de
e
.
Informações importantes dadas: no lado esquerdo e
no lado direito, onde
é uma função de
(não foi dito explicitamente, mas é o que se supõe quando aparece
junto com
).
Informações importantes dadas:
Passo 2
Por que usar diferenciação implícita? Explicando como se estivesse conversando: temos uma equação que relaciona
e
sem dar
isolado em função de
. Nesses casos a técnica padrão é derivar ambos os lados em relação a
, lembrando que
depende de
, então cada vez que derivamos um termo que contém
usamos a regra da cadeia. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo. A regra básica: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de
em relação a
é
; a derivada de uma constante é
. Assim,
Explicação pequena:
é constante, então vira
;
vira
.
Passo 4
Derivando o lado direito
. Aqui usamos a regra da cadeia: se temos
, a derivada é
. Então identifique
. Logo
Pequena aula sobre a regra da cadeia: ela diz que ao derivar uma função composta
você multiplica
por
. Aqui
e
.
Passo 5
Agora precisamos de
. Isso é um produto entre
e
, então usamos a regra do produto:
. Tome
e
. Temos
. Para
usamos novamente a regra da cadeia:
é função de
e
depende de
, então
Portanto, aplicando a regra do produto,
Observe: aqui já aparece
porque
é função de
.
Passo 6
Volte à derivada do lado direito que ficou
Agora igualamos a derivada do lado esquerdo com a do direito (porque derivamos a igualdade original). Assim obtemos a equação
Passo 7
Isolando
. Primeiro distribuo (ou apenas separo os termos) para deixar claro onde está
:
Agora passo o termo sem
para a esquerda:
Finalmente divido ambos os lados por
(desde que esse denominador não seja zero) para obter
:
Passo 8
Comentário sobre condições e casos especiais (importante na prova): ao dividir supusemos
. Se esse denominador for zero, não dá para isolar
dessa forma — nesses pontos a derivada pode não existir ou exigir análise adicional. Exemplo prático: se
e
então
e
, então
satisfaz a equação original; porém aí o denominador é zero (porque
), então a expressão para
fica inválida naquele ponto e é preciso analisar o comportamento local da curva (pode haver tangente vertical ou derivada inexistente). Outra observação:
não aparece em soluções porque se
a equação original dá
, impossível; então números com
não precisam ser considerados como solução do sistema original.