1. 1+x=\operatorname{sen}\left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a relação
1 + x = \operatorname{sen}\bigl(x y^{2}\bigr)
e pede que a gente trabalhe com essa igualdade. A interpretação mais natural — e a que eu vou usar — é: encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja \dfrac{dy}{dx}, expressa em função de x e y.
Informações importantes dadas: \;1+x no lado esquerdo e \;\operatorname{sen}(x y^{2}) no lado direito, onde y é uma função de x (não foi dito explicitamente, mas é o que se supõe quando aparece y junto com x).

Passo 2

Por que usar diferenciação implícita? Explicando como se estivesse conversando: temos uma equação que relaciona x e y sem dar y isolado em função de x. Nesses casos a técnica padrão é derivar ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x, então cada vez que derivamos um termo que contém y usamos a regra da cadeia. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo. A regra básica: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de x em relação a x é 1; a derivada de uma constante é 0. Assim,
\frac{d}{dx}\bigl(1 + x\bigr) = 0 + 1 = 1.
Explicação pequena: 1 é constante, então vira 0; x vira 1.

Passo 4

Derivando o lado direito \operatorname{sen}\bigl(x y^{2}\bigr). Aqui usamos a regra da cadeia: se temos \operatorname{sen}(u(x)), a derivada é \cos(u(x))\cdot u'(x). Então identifique u(x)=x y^{2}. Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(x y^{2}\bigr) = \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x y^{2}\bigr).
Pequena aula sobre a regra da cadeia: ela diz que ao derivar uma função composta f(g(x)) você multiplica f'(g(x)) por g'(x). Aqui f=\operatorname{sen} e g(x)=x y^{2}.

Passo 5

Agora precisamos de \dfrac{d}{dx}\bigl(x y^{2}\bigr). Isso é um produto entre x e y^{2}, então usamos a regra do produto: (uv)' = u'v + uv'. Tome u=x e v=y^{2}. Temos u'=1. Para v'= \dfrac{d}{dx}(y^{2}) usamos novamente a regra da cadeia: y^{2} é função de y e y depende de x, então
\frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\cdot \frac{dy}{dx}.
Portanto, aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(x y^{2}\bigr) = 1\cdot y^{2} + x\cdot \bigl(2y\cdot \frac{dy}{dx}\bigr) = y^{2} + 2x y \frac{dy}{dx}.
Observe: aqui já aparece \dfrac{dy}{dx} porque y é função de x.

Passo 6

Volte à derivada do lado direito que ficou
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(x y^{2}\bigr) = \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\cdot\bigl(y^{2} + 2x y \frac{dy}{dx}\bigr).
Agora igualamos a derivada do lado esquerdo com a do direito (porque derivamos a igualdade original). Assim obtemos a equação
1 = \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\bigl(y^{2} + 2x y \frac{dy}{dx}\bigr).

Passo 7

Isolando \dfrac{dy}{dx}. Primeiro distribuo (ou apenas separo os termos) para deixar claro onde está \dfrac{dy}{dx}:
1 = \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\,y^{2} + \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\,2x y \frac{dy}{dx}.
Agora passo o termo sem \dfrac{dy}{dx} para a esquerda:
1 - \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\,y^{2} = 2x y \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\,\frac{dy}{dx}.
Finalmente divido ambos os lados por 2x y \cos\bigl(x y^{2}\bigr) (desde que esse denominador não seja zero) para obter \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\,y^{2}}{2x y \cos\bigl(x y^{2}\bigr)}.

Passo 8

Comentário sobre condições e casos especiais (importante na prova): ao dividir supusemos 2x y \cos\bigl(x y^{2}\bigr)\neq 0. Se esse denominador for zero, não dá para isolar \dfrac{dy}{dx} dessa forma — nesses pontos a derivada pode não existir ou exigir análise adicional. Exemplo prático: se y=0 e x=-1 então 1+x=0 e \operatorname{sen}(x y^{2})=\operatorname{sen}(0)=0, então (x,y)=(-1,0) satisfaz a equação original; porém aí o denominador é zero (porque y=0), então a expressão para \dfrac{dy}{dx} fica inválida naquele ponto e é preciso analisar o comportamento local da curva (pode haver tangente vertical ou derivada inexistente). Outra observação: x=0 não aparece em soluções porque se x=0 a equação original dá 1 = \operatorname{sen}(0)=0, impossível; então números com x=0 não precisam ser considerados como solução do sistema original.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1-\cos\bigl(x y^{2}\bigr)\,y^{2}}{2x y \cos\bigl(x y^{2}\bigr)}

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