Derive.
5.
5.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
(ou seja,
). As informações relevantes são: o numerador é
e o denominador é
. Nada mais é pedido além da derivada.
Passo 2
Uma estratégia simples e prática para derivar é reescrever a função como produto, porque assim podemos usar a regra do produto (que é direta e usa regras muito básicas). Reescrevemos
Essa manipulação é válida porque dividir por
é o mesmo que multiplicar por
.
Passo 3
Vou listar as regras que vamos usar e explicar rapidamente cada uma, com exemplos curtinhos para fixar:
Regra do produto:
Exemplo rápido: se
e
, então
.
Derivada da exponencial:
Ou seja,
é uma função que se deriva dela mesma.
Regra do poder (power rule):
válida para qualquer expoente real
. Exemplo:
.
Vamos aplicar essas regras à nossa decomposição
com
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas das duas parcelas separadamente:
Para
,
Para
, usando a regra do poder com
,
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
que calculamos,
Passo 6
Agora vamos simplificar passo a passo. Primeiro escrevemos os dois termos:
Fatoramos
(o menor expoente de
entre os termos é
):
Aqui usei que
, por isso apareceu o fator
dentro dos parênteses.
Passo 7
Escrever o resultado em forma de fração positiva no denominador (forma habitualmente mais bonita):