Derive.
5. y=\frac{e^{x}}{x^{2}}\\

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{e^{x}}{x^{2}}
e pede para calcular a derivada de y em relação a x (ou seja, y'). As informações relevantes são: o numerador é e^{x} e o denominador é x^{2}. Nada mais é pedido além da derivada.

Passo 2

Uma estratégia simples e prática para derivar é reescrever a função como produto, porque assim podemos usar a regra do produto (que é direta e usa regras muito básicas). Reescrevemos
y=\frac{e^{x}}{x^{2}}=e^{x}\cdot x^{-2}.
Essa manipulação é válida porque dividir por x^{2} é o mesmo que multiplicar por x^{-2}.

Passo 3

Vou listar as regras que vamos usar e explicar rapidamente cada uma, com exemplos curtinhos para fixar:
Regra do produto:
\text{Se }y=u(x)\,v(x),\text{ então }y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Exemplo rápido: se u=x^{2} e v=\sin x, então y' = 2x\sin x + x^{2}\cos x.
Derivada da exponencial:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Ou seja, e^{x} é uma função que se deriva dela mesma.
Regra do poder (power rule):
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
válida para qualquer expoente real n. Exemplo: \frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.
Vamos aplicar essas regras à nossa decomposição y=u\cdot v com u=e^{x} e v=x^{-2}.

Passo 4

Calcular as derivadas das duas parcelas separadamente:
Para u(x)=e^{x},
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Para v(x)=x^{-2}, usando a regra do poder com n=-2,
v'(x)=\frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que calculamos,
y' = e^{x}\cdot x^{-2} + e^{x}\cdot(-2x^{-3}).

Passo 6

Agora vamos simplificar passo a passo. Primeiro escrevemos os dois termos:
y' = e^{x}x^{-2} - 2e^{x}x^{-3}.
Fatoramos e^{x}x^{-3} (o menor expoente de x entre os termos é -3):
y' = e^{x}x^{-3}\bigl(x^{1} - 2\bigr).
Aqui usei que x^{-2}=x^{-3}\cdot x^{1}, por isso apareceu o fator x dentro dos parênteses.

Passo 7

Escrever o resultado em forma de fração positiva no denominador (forma habitualmente mais bonita):
y'=\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}

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