Derive a função
f(x)=raizx cdot cos (x)sen x cdot e^x

Passo 1

Beleza, vamos derivar a função que você me passou:
f(x) = raizx cdot cos(x)sin(x) cdot e^x
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente para derivar funções que são o quociente de duas outras funções. Vamos precisar conhecer a derivada de produtos e funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vamos precisar derivar separadamente. Vamos chamar:
u(x) = raizx cdot cos(x)
v(x) = sin(x) cdot e^x
Queremos encontrar $ f’(x) = \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{[v(x)]^2} $.

Passo 3

Vamos começar derivando $ u(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x) $. Aqui, usamos a regra do produto que diz que a derivada de dois fatores é:
u(x) = raizx cdot cos(x)
Calculando cada parte:
u'(x) = ddx(raizx) cdot cos(x) + raizx cdot ddx(cos(x))
ddx(raizx) = 12raizx
Então:
ddx(cos(x)) = -sin(x)
Simplificando:
u'(x) = 12raizx cdot cos(x) + raizx cdot (-sin(x))

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = \sin(x) \cdot e^{x} $. Novamente, usamos a regra do produto:
v(x) = sin(x) cdot e^x
Calculando cada parte:
v'(x) = ddx(sin(x)) cdot e^x + sin(x) cdot ddx(e^x)
ddx(sin(x)) = cos(x)
Então:
ddx(e^x) = e^x
v'(x) = cos(x) cdot e^x + sin(x) cdot e^x

Passo 5

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a regra do quociente:
u'(x)
Substituindo os valores:
v'(x)

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, no numerador:
( cos(x)2raizx cdot sin(x) cdot e^x ) - ( raizx cdot sin^2(x) cdot e^x ) - ( raizx cdot cos(x) cdot e^x cdot cos(x) ) - ( raizx cdot cos(x) cdot e^x cdot sin(x) )
E no denominador:
sin^2(x) cdot e^2x
Podemos fatorar $ e^{x} $ no numerador:
e^x
Então, a derivada fica:
e^x ( cos(x) cdot sin(x)2raizx - raizx cdot sin^2(x) - raizx cdot cos^2(x) - raizx cdot cos(x) cdot sin(x) )
Podemos simplificar mais cancelando $ e^{x} $:
f'(x) = e^x ( cos(x) cdot sin(x)2raizx - raizx cdot (sin^2(x) + cos^2(x)) - raizx cdot cos(x) cdot sin(x) )sin^2(x) cdot e^2x
Lembrando que $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $:
e^x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = dfraccos(x) cdot sin(x)2raizx - raizx - raizx cdot cos(x) cdot sin(x) sin^2(x) cdot e^x

Exercícios relacionados