Derive a função
Passo 1
Beleza, vamos derivar a função que você me passou:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente para derivar funções que são o quociente de duas outras funções. Vamos precisar conhecer a derivada de produtos e funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vamos precisar derivar separadamente. Vamos chamar:
Queremos encontrar $ f’(x) = \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{[v(x)]^2} $.
Passo 3
Vamos começar derivando $ u(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x) $. Aqui, usamos a regra do produto que diz que a derivada de dois fatores é:
Calculando cada parte:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = \sin(x) \cdot e^{x} $. Novamente, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, no numerador:
E no denominador:
Podemos fatorar $ e^{x} $ no numerador:
Então, a derivada fica:
Podemos simplificar mais cancelando $ e^{x} $:
Lembrando que $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $:
Resposta
A derivada da função é: