Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais
e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os cinco primeiros elementos da sequência das somas parciais $ s_{n} $ da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3n+1)(3n-2)} $. Além disso, se der, a gente também vai tentar encontrar uma fórmula geral para $ s_{n} $ em termos de $ n $, e descobrir se essa série converge ou diverge. Se convergir, vamos encontrar a soma dela. Para tudo isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão geral da série: $ \frac{5}{(3n+1)(3n-2)} $. Para simplificar essa fração, vamos usar a técnica de frações parciais. Isso significa que a gente vai escrever essa expressão como a soma de duas frações mais simples.
Vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum $ (3n+1)(3n-2) $, a gente tem:
Agora, vamos resolver para $ A $ e $ B $. Podemos escolher valores de $ n $ que simplifiquem a equação.
Se $ n = \frac{2}{3} $:
Se $ n = -\frac{1}{3} $:
Então, nossa fração original fica:
Passo 4
Agora que temos a expressão em frações parciais, podemos escrever a soma parcial $ s_n $ até o termo $ n $:
Vamos simplificar essa soma:
Isso forma uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 5
Vamos calcular os cinco primeiros somatórios parciais para ver o padrão:
Para $ n = 1 $:
Para $ n = 2 $:
Para $ n = 3 $:
Continuando assim, vemos que muitos termos se cancelam, restando apenas os primeiros e os últimos termos da sequência.
Passo 6
Observando o padrão, podemos generalizar a soma parcial $ s_n $:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, para determinar se a série converge ou diverge, vamos analisar o limite da soma parcial quando $ n $ tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3n+1)(3n-2)} $ converge e sua soma é $ \frac{5}{3} $.