Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais sn e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
sumn=1^infty 5(3 n+1)(3 n-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os cinco primeiros elementos da sequência das somas parciais $ s_{n} $ da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3n+1)(3n-2)} $. Além disso, se der, a gente também vai tentar encontrar uma fórmula geral para $ s_{n} $ em termos de $ n $, e descobrir se essa série converge ou diverge. Se convergir, vamos encontrar a soma dela. Para tudo isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão geral da série: $ \frac{5}{(3n+1)(3n-2)} $. Para simplificar essa fração, vamos usar a técnica de frações parciais. Isso significa que a gente vai escrever essa expressão como a soma de duas frações mais simples.
Vamos supor que:
5(3n+1)(3n-2)
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum $ (3n+1)(3n-2) $, a gente tem:
(3n+1)(3n-2)
Agora, vamos resolver para $ A $ e $ B $. Podemos escolher valores de $ n $ que simplifiquem a equação.
Se $ n = \frac{2}{3} $:
5 = A(3n-2) + B(3n+1)
Se $ n = -\frac{1}{3} $:
A
Então, nossa fração original fica:
B

Passo 4

Agora que temos a expressão em frações parciais, podemos escrever a soma parcial $ s_n $ até o termo $ n $:
sn
Vamos simplificar essa soma:
n
Isso forma uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 5

Vamos calcular os cinco primeiros somatórios parciais para ver o padrão:
Para $ n = 1 $:
n = 1
Para $ n = 2 $:
s1 = 53 ( 11 - 14 ) = 53 ( 34 ) = 54
Para $ n = 3 $:
n = 2
Continuando assim, vemos que muitos termos se cancelam, restando apenas os primeiros e os últimos termos da sequência.

Passo 6

Observando o padrão, podemos generalizar a soma parcial $ s_n $:
sn
Isso simplifica para:
sn = 53 ( 1 - 13n+1 )

Passo 7

Agora, para determinar se a série converge ou diverge, vamos analisar o limite da soma parcial quando $ n $ tende ao infinito:
n
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3n+1)(3n-2)} $ converge e sua soma é $ \frac{5}{3} $.

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