Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais sn e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
sumn=1^infty 1(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente escrever os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais $ s_n $ da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $. Além disso, se der, vamos encontrar uma fórmula geral para $ s_n $ em termos de $ n $ e determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também vamos descobrir qual é a soma total dela.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries, somas parciais e, possivelmente, frações parciais para simplificar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. A soma parcial $ s_n $ é a soma dos primeiros $ n $ termos de uma série. No nosso caso, a série é $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $. Então, a soma parcial $ s_n $ será:
sn

Passo 3

Agora, vamos calcular os cinco primeiros elementos dessa sequência de somas parciais.
Para $ n = 1 $:
n = 1
Para $ n = 2 $:
s1 = 1(2 cdot 1 - 1)(2 cdot 1 + 1) = 11 cdot 3 = 13
Para $ n = 3 $:
n = 2
Para $ n = 4 $:
s2 = s1 + 1(2 cdot 2 - 1)(2 cdot 2 + 1) = 13 + 13 cdot 5 = 13 + 115 = 615 = 25
Para $ n = 5 $:
n = 3

Passo 4

Agora que temos os cinco primeiros elementos, vamos tentar encontrar uma fórmula geral para $ s_n $. Para isso, vamos simplificar o termo geral da série usando frações parciais.
A fração:
sn
pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
1(2n-1)(2n+1)
Multiplicando ambos os lados por $ (2n-1)(2n+1) $ para eliminar os denominadores:
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Expandindo:
(2n-1)(2n+1)
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de $ n $, os coeficientes de $ n $ e os termos constantes devem ser iguais respectivamente. Então:
1 = A(2n+1) + B(2n-1)
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
1 = (2A + 2B)n + (A - B)
Substituindo na segunda equação:
n
Então:
n
Portanto, a fração se simplifica para:
2A + 2B = 0 e A - B = 1

Passo 5

Com essa simplificação, podemos reescrever a soma parcial $ s_n $ como:
sn
Vamos expandir essa soma:
sn = sumk=1^n 1(2k-1)(2k+1) = 12 sumk=1^n ( 12k-1 - 12k+1 )
Observe que muitos termos se cancelam, restando apenas:
sn = 12 ( ( 11 - 13 ) + ( 13 - 15 ) + ( 15 - 17 ) + dots + ( 12n-1 - 12n+1 ) )
Simplificando:
sn = 12 ( 1 - 12n+1 )

Passo 6

Agora que temos a fórmula geral para $ s_n $, vamos analisar o comportamento da série quando $ n $ tende ao infinito para determinar se a série é convergente ou divergente.
Tomando o limite de $ s_n $ quando $ n \to \infty $:
sn
Como o limite existe e é finito, a série é convergente.

Resposta

A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $ é convergente e sua soma total é $ \frac{1}{2} $.

Exercícios relacionados