Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais
e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente escrever os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais $ s_n $ da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $. Além disso, se der, vamos encontrar uma fórmula geral para $ s_n $ em termos de $ n $ e determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também vamos descobrir qual é a soma total dela.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries, somas parciais e, possivelmente, frações parciais para simplificar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. A soma parcial $ s_n $ é a soma dos primeiros $ n $ termos de uma série. No nosso caso, a série é $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $. Então, a soma parcial $ s_n $ será:
Passo 3
Agora, vamos calcular os cinco primeiros elementos dessa sequência de somas parciais.
Para $ n = 1 $:
Para $ n = 2 $:
Para $ n = 3 $:
Para $ n = 4 $:
Para $ n = 5 $:
Passo 4
Agora que temos os cinco primeiros elementos, vamos tentar encontrar uma fórmula geral para $ s_n $. Para isso, vamos simplificar o termo geral da série usando frações parciais.
A fração:
pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
Multiplicando ambos os lados por $ (2n-1)(2n+1) $ para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de $ n $, os coeficientes de $ n $ e os termos constantes devem ser iguais respectivamente. Então:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto, a fração se simplifica para:
Passo 5
Com essa simplificação, podemos reescrever a soma parcial $ s_n $ como:
Vamos expandir essa soma:
Observe que muitos termos se cancelam, restando apenas:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos a fórmula geral para $ s_n $, vamos analisar o comportamento da série quando $ n $ tende ao infinito para determinar se a série é convergente ou divergente.
Tomando o limite de $ s_n $ quando $ n \to \infty $:
Como o limite existe e é finito, a série é convergente.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $ é convergente e sua soma total é $ \frac{1}{2} $.