Determinar o volume da regiāo
de
, onde
é :
É a região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados o plano
e o cilindro
É a região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados o plano
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume da região $ S $ no espaço tridimensional ($ \mathbb{R}^3 $) que está no primeiro octante. O primeiro octante é a parte do espaço onde todas as coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ são positivas. A região $ S $ está limitada pelos planos coordenados (os planos $ xy $, $ yz $ e $ xz $), pelo plano $ y + z = 1 $ e pelo cilindro $ x = 1 - y^2 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais duplas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ S $. No primeiro octante, $ x $, $ y $ e $ z $ são todos maiores ou iguais a zero. O cilindro $ x = 1 - y^2 $ nos dá uma relação entre $ x $ e $ y $, indicando que $ y $ varia de 0 a 1, já que para $ y = 1 $, $ x = 0 $. O plano $ y + z = 1 $ nos dá uma relação entre $ y $ e $ z $, ou seja, $ z = 1 - y $.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla sobre a região $ S $. No entanto, podemos simplificar isso usando uma integral dupla em relação a $ x $ e $ y $, integrando a função constante 1 para obter o volume. A fórmula geral para o volume é:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $. Observando o cilindro $ x = 1 - y^2 $, sabemos que para cada valor de $ y $ entre 0 e 1, $ x $ varia de 0 a $ 1 - y^2 $. Já para $ z $, dado o plano $ y + z = 1 $, $ z $ varia de 0 a $ 1 - y $.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla para o volume:
Aqui, $ (1 - y) $ é a altura em $ z $ para cada ponto $ (x, y) $ na base determinada pelos limites de $ x $ e $ y $.
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a $ x $:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral externa em relação a $ y $:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Portanto, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Substituindo os limites de integração:
Vamos calcular esse valor:
Então:
Resposta
O volume da região $ S $ é $ \frac{5}{12} $ unidades cúbicas.