Determinar o volume da regiāo S de R^3, onde S é :
É a região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados o plano y+z=1 e o cilindro x=1-y^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume da região $ S $ no espaço tridimensional ($ \mathbb{R}^3 $) que está no primeiro octante. O primeiro octante é a parte do espaço onde todas as coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ são positivas. A região $ S $ está limitada pelos planos coordenados (os planos $ xy $, $ yz $ e $ xz $), pelo plano $ y + z = 1 $ e pelo cilindro $ x = 1 - y^2 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais duplas para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ S $. No primeiro octante, $ x $, $ y $ e $ z $ são todos maiores ou iguais a zero. O cilindro $ x = 1 - y^2 $ nos dá uma relação entre $ x $ e $ y $, indicando que $ y $ varia de 0 a 1, já que para $ y = 1 $, $ x = 0 $. O plano $ y + z = 1 $ nos dá uma relação entre $ y $ e $ z $, ou seja, $ z = 1 - y $.

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla sobre a região $ S $. No entanto, podemos simplificar isso usando uma integral dupla em relação a $ x $ e $ y $, integrando a função constante 1 para obter o volume. A fórmula geral para o volume é:
S

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $. Observando o cilindro $ x = 1 - y^2 $, sabemos que para cada valor de $ y $ entre 0 e 1, $ x $ varia de 0 a $ 1 - y^2 $. Já para $ z $, dado o plano $ y + z = 1 $, $ z $ varia de 0 a $ 1 - y $.

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla para o volume:
V = integraly=0^1 integralx=0^1 - y^2 (1 - y) , dx , dy
Aqui, $ (1 - y) $ é a altura em $ z $ para cada ponto $ (x, y) $ na base determinada pelos limites de $ x $ e $ y $.

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a $ x $:
x

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa em relação a $ y $:
y
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
V = integral0^1 (1 - y)(1 - y^2) , dy

Passo 8

Portanto, a integral fica:
V = integral0^1 (1 - y - y^2 + y^3) , dy
Agora, vamos integrar termo a termo:
V = [ y - y^22 - y^33 + y^44 ]0^1

Passo 9

Substituindo os limites de integração:
V = (1 - 12 - 13 + 14) - (0 - 0 - 0 + 0) = 1 - 12 - 13 + 14
Vamos calcular esse valor:
1 = 1212, 12 = 612, 13 = 412, 14 = 312
Então:
1212 - 612 - 412 + 312 = 12 - 6 - 4 + 312 = 512

Resposta

O volume da região $ S $ é $ \frac{5}{12} $ unidades cúbicas.

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