Derive a função.
g(t)=\ln \frac{t\left(t^{2}+1\right)^{t}}{\sqrt{2 t-1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(t)=\ln\frac{t\,(t^2+1)^t}{\sqrt{2t-1}}.
O conteúdo é derivação de funções com logaritmo: usamos propriedades de \ln para separar em soma de termos e depois aplicamos as regras de derivada (derivada de \ln, regra do produto e regra da cadeia).

Passo 2

Usando propriedades de logaritmo, escrevemos
g(t)=\ln t \;+\; t\,\ln\bigl(t^2+1\bigr)\;-\;\frac12\,\ln\bigl(2t-1\bigr).

Passo 3

Derivamos cada parcela:
\frac{d}{dt}[\ln t]=\frac1t,
\frac{d}{dt}\bigl[t\,\ln(t^2+1)\bigr] =\underbrace{1}_{\frac{d}{dt}t}\,\ln(t^2+1) +\;t\;\underbrace{\frac{d}{dt}[\ln(t^2+1)]}_{\frac{2t}{t^2+1}} =\ln(t^2+1)+\frac{2t^2}{t^2+1},
\frac{d}{dt}\Bigl[-\tfrac12\,\ln(2t-1)\Bigr] =-\tfrac12\cdot\frac{2}{2t-1} =-\frac1{2t-1}.

Passo 4

Somando as derivadas, obtemos
g'(t) =\frac1t +\ln(t^2+1) +\frac{2t^2}{t^2+1} -\frac1{2t-1}.

Resposta

g'(t)=\frac1t+\ln\bigl(t^2+1\bigr)+\frac{2t^2}{t^2+1}-\frac1{2t-1}.

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