Derive a função.
y=\log _{10} \operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
y = \log_{10}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr).
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, a derivada de logaritmo de base 10 e a derivada da função secante.

Passo 2

Primeiro, mudamos a base do logaritmo para o natural:
y = \log_{10}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr) = \frac{\ln\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)}{\ln 10}.

Passo 3

Aplicando a derivada em y = \frac{1}{\ln 10}\,\ln\bigl(\operatorname{sec} x\bigr), pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 10}\;\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)\Bigr] = \frac{1}{\ln 10}\;\frac{(\operatorname{sec} x)'}{\operatorname{sec} x}.

Passo 4

Sabendo que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\tan x,
substituímos em \frac{(\operatorname{sec} x)'}{\operatorname{sec} x}:
\frac{(\operatorname{sec} x)'}{\operatorname{sec} x} = \frac{\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x} = \tan x.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\tan x}{\ln 10}.

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