Derive a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função $ g(x) = x^{1/x} $. Isso tá na área de Cálculo, especificamente em derivadas de funções exponenciais onde a variável está no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação usando logaritmos naturais. Isso porque quando temos uma variável no expoente, os logaritmos ajudam a “trazer” o expoente para baixo, tornando a equação mais fácil de trabalhar.
Então, temos:
Tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Passo 4
Nosso próximo passo é derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Vamos usar a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do quociente no lado direito.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Usamos a regra do quociente:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Para resolver para $ \frac{dy}{dx} $, multiplicamos ambos os lados por $ y $:
Passo 6
Lembrando que $ y = x^{1/x} $, substituímos de volta na equação:
Resposta
A derivada da função $ g(x) = x^{1/x} $ é: