Derive a função
g(x)=x^1 / x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função $ g(x) = x^{1/x} $. Isso tá na área de Cálculo, especificamente em derivadas de funções exponenciais onde a variável está no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação usando logaritmos naturais. Isso porque quando temos uma variável no expoente, os logaritmos ajudam a “trazer” o expoente para baixo, tornando a equação mais fácil de trabalhar.
Então, temos:
y = x^1/x
Tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
ln(y) = ln(x^1/x)

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
ln(y) = 1x cdot ln(x)

Passo 4

Nosso próximo passo é derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Vamos usar a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do quociente no lado direito.
Derivando o lado esquerdo:
x
Derivando o lado direito:
ddx[ln(y)] = 1y cdot dydx
Usamos a regra do quociente:
ddx[ln(x)x]

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
1y cdot dydx = 1 - ln(x)x^2
Para resolver para $ \frac{dy}{dx} $, multiplicamos ambos os lados por $ y $:
dydx

Passo 6

Lembrando que $ y = x^{1/x} $, substituímos de volta na equação:
y = x^1/x

Resposta

A derivada da função $ g(x) = x^{1/x} $ é:
g(x) = x^1/x

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