Verifique se a integral imprópria converge ou diverge
integral-infty^0 d x(x-8)^23

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da integral imprópria integral-infty^0dx(x-8)^2/3. O conteúdo aqui é de integrais impróprias em intervalo infinito e vamos precisar usar o conceito de limite quando o limite de integração vai a -infty.

Passo 2

Perceba que, para x<0, o termo x-8 é negativo, mas como o expoente é 2/3, podemos escrever
1(x-8)^2/3=1|x-8|^2/3=1(8-x)^2/3
Para facilitar, fazemos a substituição u=8-x, de modo que quando xto -infty temos uto+infty e quando x=0 temos u=8. Além disso dx=-du. A integral vira
$$\int_{-\infty}{0}\frac{dx}{(x-8){2/3}}=
\int_{\infty}{8}u{-2/3}(-du)=\int_{8}{\infty}u{-2/3},du.$$

Passo 3

Agora reconhecemos uma integral do tipo integrala^inftyu^-pdu. Aqui p=2/3, e sabemos que ela converge somente se p>1. Como 2/3<1, a integral diverge.
Podemos também calcular explicitamente:
integral8^Bu^-2/3du=[3u^1/3]8^B=3l(B^1/3-2r),
e ao fazer Btoinfty esse resultado vai para +infty, confirmando a divergência.

Resposta

A integral imprópria diverge.

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