Verifique se a integral imprópria converge ou diverge
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da integral imprópria
. O conteúdo aqui é de integrais impróprias em intervalo infinito e vamos precisar usar o conceito de limite quando o limite de integração vai a
.
Passo 2
Perceba que, para
, o termo
é negativo, mas como o expoente é
, podemos escrever
Para facilitar, fazemos a substituição
$$\int_{-\infty}{0}\frac{dx}{(x-8){2/3}}=
\int_{\infty}{8}u{-2/3}(-du)=\int_{8}{\infty}u{-2/3},du.$$
Passo 3
Agora reconhecemos uma integral do tipo
. Aqui
, e sabemos que ela converge somente se
. Como
, a integral diverge.
Podemos também calcular explicitamente:
Podemos também calcular explicitamente:
e ao fazer
Resposta
A integral imprópria diverge.