Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
i. integralgamma 2 x y^3 d x+x^2 y^3 d y+3 x^2 y z^2 d z. [resp.: não conservativo.]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a 1-forma omega = 2xy^3,dx + x^2y^3,dy + 3x^2y z^2,dz é exata (equivalente a um campo conservativo) e, em caso afirmativo, determinar a função potencial. O conteúdo é teste de exatidão de formas diferenciais em R^3, usando as condições de integrabilidade.

Passo 2

Identificamos as componentes da forma como P(x,y,z)=2xy^3, Q(x,y,z)=x^2y^3 e R(x,y,z)=3x^2y z^2. Em um domínio convexo, omega é exata se e somente se satisfazemos
partial Ppartial y=partial Qpartial x,
partial Ppartial z=partial Rpartial x e
partial Qpartial z=partial Rpartial y.

Passo 3

Calculamos
partial Ppartial y=partialpartial y(2xy^3)=6xy^2
e
partial Qpartial x=partialpartial x(x^2y^3)=2xy^3.
Como 6xy^2neq2xy^3 em geral, a primeira condição de exatidão falha.

Passo 4

Portanto, omega não satisfaz as condições de integrabilidade e não é exata. Logo o campo não é conservativo e não existe função potencial.

Resposta

Não é conservativo; não existe função potencial.

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