Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor.
a. integral(1,2)^(4,0) 3 y d x+3 x d y. [resp.: -6 .]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial omega=3y,dx+3x,dy é independente do caminho e calcular integral(1,2)^(4,0)omega. O conteúdo aqui é formas diferenciais exatas e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Vamos precisar checar a exatidão de omega em R^2 e depois encontrar uma função potencial.

Passo 2

Temos M(x,y)=3y e N(x,y)=3x. Calculando as derivadas parciais,
partial Mpartial y=3, partial Npartial x=3,
como são iguais e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que omega é exata e portanto independente do caminho.

Passo 3

Procuramos uma potencial F(x,y) tal que partial F/partial x=3y e partial F/partial y=3x. Integramos primeiro em x:
F(x,y)=integral 3y,dx=3xy+h(y)

Passo 4

Derivando em relação a y,
partial Fpartial y=3x+h'(y)stackrel!=3ximplies h'(y)=0,
logo podemos tomar h(y)=C. Assim, uma escolha conveniente é
F(x,y)=3xy

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental, a integral de linha é
F(4,0)-F(1,2)=3cdot4cdot0-3cdot1cdot2=0-6=-6

Resposta

-6

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