Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor.
a.
. [resp.: -6 .]
a.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
é independente do caminho e calcular
. O conteúdo aqui é formas diferenciais exatas e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Vamos precisar checar a exatidão de
em
e depois encontrar uma função potencial.
Passo 2
Temos
e
. Calculando as derivadas parciais,
como são iguais e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que
Passo 3
Procuramos uma potencial
tal que
e
. Integramos primeiro em
:
Passo 4
Derivando em relação a
,
logo podemos tomar
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental, a integral de linha é
Resposta
-6