Derive a função
h(x)=x^{{2+\ln x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função h(x)=x^{\,2+\ln x}.\n
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é h(x)=x^{\,2+\ln x}.\n
  • Como aparece \ln x, o domínio natural da função é x>0 (necessário para que \ln x esteja definido).\n
  • A tarefa é encontrar h'(x), a derivada de h em função de x.\n

Passo 2

Estratégia escolhida (apenas dizer o que faremos agora): usar diferenciação logarítmica — isto é, definir y=h(x), aplicar \ln em ambos os lados para simplificar a potência com expoente dependente de x, e depois diferenciar implicitamente. Não vou resolver ainda, apenas explico a ideia: tomar log transforma potência em produto, o que facilita derivar quando tanto base quanto expoente dependem de x.

Passo 3

Defino y=h(x):
y = x^{\,2+\ln x}.
Como x>0, posso aplicar \ln dos dois lados. Uso a propriedade do log \ln(a^b)=b\ln a. Aplicando:
\ln y = (2+\ln x)\ln x.
Expando o produto para ficar mais claro:
\ln y = 2\ln x + (\ln x)^2.

Passo 4

Agora vou derivar ambos os lados em relação a x. Antes, uma rápida aula sobre as regras que vou usar:
  • Regra da cadeia para \ln y: \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{y'}{y}, porque \ln é função externa e y=y(x) é interna.\n
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.\n
  • Regra do produto e regra da cadeia para (\ln x)^2: derivada é 2\ln x\cdot \dfrac{1}{x}.\n
    Agora aplico essas regras:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\big(2\ln x + (\ln x)^2\big) = 2\cdot\frac{1}{x} + 2\ln x\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Simplifico o lado direito somando os termos com denominador x:
\frac{y'}{y} = \frac{2 + 2\ln x}{x}.
Isto significa que
y' = y\cdot \frac{2 + 2\ln x}{x}.

Passo 6

Volto a substituir y por h(x)=x^{\,2+\ln x}. Assim:
y' = x^{\,2+\ln x}\cdot \frac{2 + 2\ln x}{x}.
Agora simplifico a potência dividindo por x (que equivale a diminuir o expoente em 1):
x^{\,2+\ln x}\cdot \frac{1}{x} = x^{\,2+\ln x-1} = x^{\,1+\ln x}.
Portanto
y' = (2 + 2\ln x)\,x^{\,1+\ln x}.

Passo 7

Faço uma fatoração final para deixar a resposta mais enxuta e clara: fator comum 2.
y' = 2(1+\ln x)\,x^{\,1+\ln x}.
Esta é uma forma bonita e fácil de memorizar: o fator 1+\ln x aparece multiplicando a potência reduzida em uma unidade.

Resposta

h'(x)=2(1+\ln x)\,x^{\,1+\ln x}

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