Derive a função
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.\n
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
.\n - Como aparece
, o domínio natural da função é (necessário para que esteja definido).\n - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .\n
Passo 2
Estratégia escolhida (apenas dizer o que faremos agora): usar diferenciação logarítmica — isto é, definir
, aplicar
em ambos os lados para simplificar a potência com expoente dependente de
, e depois diferenciar implicitamente. Não vou resolver ainda, apenas explico a ideia: tomar log transforma potência em produto, o que facilita derivar quando tanto base quanto expoente dependem de
.
Passo 3
Defino
:
Como
, posso aplicar
dos dois lados. Uso a propriedade do log
. Aplicando:
Expando o produto para ficar mais claro:
Passo 4
Agora vou derivar ambos os lados em relação a
. Antes, uma rápida aula sobre as regras que vou usar:
- Regra da cadeia para
: , porque é função externa e é interna.\n - Derivada de
é .\n - Regra do produto e regra da cadeia para
: derivada é .\n
Agora aplico essas regras:
Passo 5
Simplifico o lado direito somando os termos com denominador
:
Isto significa que
Passo 6
Volto a substituir
por
. Assim:
Agora simplifico a potência dividindo por
(que equivale a diminuir o expoente em
):
Portanto
Passo 7
Faço uma fatoração final para deixar a resposta mais enxuta e clara: fator comum
.
Esta é uma forma bonita e fácil de memorizar: o fator
aparece multiplicando a potência reduzida em uma unidade.