Escreva a função composta na forma f(g(x)). [Identifique a função de dentro u=g(x) e a de fora y=f(u).] Então, encontre a derivada d y / d x
y=\left(5-x^{4}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: escrever a função como composição f(g(x)) identificando a função de dentro u=g(x) e a de fora y=f(u); e então encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx}.
A informação dada é:
y=\left(5-x^{4}\right)^{3}.

Passo 2

Vamos escolher o método: a forma \left(\text{algo}\right)^{3} sugere usar a regra da cadeia (chain rule), que é a maneira direta e rápida de derivar composições do tipo “potência de uma função”. Expandir o cubo daria um polinômio grande e trabalho desnecessário na prova, então a regra da cadeia é a melhor opção aqui.

Passo 3

Identificamos explicitamente a função interior u=g(x) e a exterior y=f(u). Colocamos:
u=g(x)=5-x^{4}
y=f(u)=u^{3}.
Assim y=f(u) com u=g(x) e y=(g(x))^{3}, correspondendo exatamente ao enunciado.

Passo 4

Agora uma pequena aula sobre a regra da cadeia e a regra da potência, passo a passo e sem pressa.
  • Regra da potência: se uma função tem a forma \displaystyle h(t)=t^{n} com n constante, então a derivada em relação a t é
\frac{dh}{dt}=n\,t^{n-1}.
Isso vale para qualquer variável ou expressão no lugar de t.
  • Regra da cadeia: se y=f(u) e u=g(x), ou seja y=f(g(x)), então a derivada de y em relação a x é o produto da derivada de f em relação a u pela derivada de u em relação a x:
\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot \frac{du}{dx}.
Em palavras: derivamos a função de fora (mantendo a função de dentro como símbolo u) e multiplicamos pela derivada da função de dentro.

Passo 5

Aplicando a regra da potência à função exterior f(u)=u^{3}, obtemos a derivada de f em relação a u:
f'(u)=3u^{2}.
Expliquei: usei n=3 na fórmula \frac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}.

Passo 6

Agora derivamos a função interior u=g(x)=5-x^{4} em relação a x. Duas regras usadas: a derivada de uma constante é zero, e a regra da potência para x^{4}. Assim:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(5)-\frac{d}{dx}(x^{4})=0-4x^{3}=-4x^{3}.

Passo 7

Agora aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot \frac{du}{dx}=3u^{2}\cdot(-4x^{3}).
Substituímos u=g(x)=5-x^{4}:
\frac{dy}{dx}=3\bigl(5-x^{4}\bigr)^{2}\cdot(-4x^{3})=-12x^{3}\bigl(5-x^{4}\bigr)^{2}.
Podemos ordenar os fatores como preferir; essa forma está simplificada e pronta para a prova.

Passo 8

Resumo final rápido: identificamos u e f, derivamos cada parte com as regras da potência e da cadeia, e multiplicamos. Se quiser um lembrete prático para a prova: “deriva a potência por fora (3·(… )^2) e multiplica pela derivada do que está dentro (−4x^3)”.

Resposta

u=g(x)=5-x^{4} e y=f(u)=u^{3}
\dfrac{dy}{dx}=-12x^{3}\bigl(5-x^{4}\bigr)^{2}

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