Escreva a função composta na forma
. [Identifique a função de dentro
e a de fora
.] Então, encontre a derivada
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: escrever a função como composição
identificando a função de dentro
e a de fora
; e então encontrar a derivada
.
A informação dada é:
A informação dada é:
Passo 2
Vamos escolher o método: a forma
sugere usar a regra da cadeia (chain rule), que é a maneira direta e rápida de derivar composições do tipo “potência de uma função”. Expandir o cubo daria um polinômio grande e trabalho desnecessário na prova, então a regra da cadeia é a melhor opção aqui.
Passo 3
Identificamos explicitamente a função interior
e a exterior
. Colocamos:
Assim
com
e
, correspondendo exatamente ao enunciado.
Passo 4
Agora uma pequena aula sobre a regra da cadeia e a regra da potência, passo a passo e sem pressa.
- Regra da potência: se uma função tem a forma
com constante, então a derivada em relação a é
Isso vale para qualquer variável ou expressão no lugar de
.
- Regra da cadeia: se
e , ou seja , então a derivada de em relação a é o produto da derivada de em relação a pela derivada de em relação a :
Em palavras: derivamos a função de fora (mantendo a função de dentro como símbolo
) e multiplicamos pela derivada da função de dentro.
Passo 5
Aplicando a regra da potência à função exterior
, obtemos a derivada de
em relação a
:
Expliquei: usei
na fórmula
.
Passo 6
Agora derivamos a função interior
em relação a
. Duas regras usadas: a derivada de uma constante é zero, e a regra da potência para
. Assim:
Passo 7
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Substituímos
:
Podemos ordenar os fatores como preferir; essa forma está simplificada e pronta para a prova.
Passo 8
Resumo final rápido: identificamos
e
, derivamos cada parte com as regras da potência e da cadeia, e multiplicamos. Se quiser um lembrete prático para a prova: “deriva a potência por fora (3·(… )^2) e multiplica pela derivada do que está dentro (−4x^3)”.