Derive a função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - O logaritmo natural
aparece, portanto o domínio natural da função é . - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Observação sobre a estrutura de
: ela é uma composição de uma exponencial com um argumento que depende de
. Vou usar a regra da cadeia, que é a forma mais direta aqui.
Lembrete (regra da cadeia, explicada): se
então, por regra da cadeia,
Aqui
é a função interna; depois vou calcular
.
Passo 3
Identificar a função interna: defina
Para encontrar
usamos a regra do produto, porque
é produto das duas funções
e
.
Lembrete (regra do produto, explicada): se
, então
Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
.
Passo 4
Calcule as derivadas necessárias:
-
. -
(derivada do logaritmo natural).
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Fatorando
fica mais compacto:
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia (Passo 2): como
,
Substituindo
e
obtemos
Observação final (forma alternativa): como
, também se pode escrever
Outra via curta (logaritmic differentiation): tomando
e derivando ambos os lados chega-se à mesma expressão para
e, portanto, ao mesmo
.