Derive a função.
g(x)=e^{x^{2} \ln x}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle g(x)=e^{x^{2}\ln x} e pede a derivada g'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é \displaystyle g(x)=e^{x^{2}\ln x}.
  • O logaritmo natural \ln x aparece, portanto o domínio natural da função é x>0.
  • Objetivo: calcular \displaystyle g'(x).

Passo 2

Observação sobre a estrutura de \displaystyle g: ela é uma composição de uma exponencial com um argumento que depende de x. Vou usar a regra da cadeia, que é a forma mais direta aqui.
Lembrete (regra da cadeia, explicada): se \displaystyle g(x)=e^{u(x)} então, por regra da cadeia,
g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui \displaystyle u(x) é a função interna; depois vou calcular u'(x).

Passo 3

Identificar a função interna: defina
u(x)=x^{2}\ln x.
Para encontrar u'(x) usamos a regra do produto, porque u é produto das duas funções \displaystyle f(x)=x^{2} e \displaystyle h(x)=\ln x.
Lembrete (regra do produto, explicada): se \displaystyle u(x)=f(x)\,h(x), então
u'(x)=f'(x)\,h(x)+f(x)\,h'(x).
Aqui f'(x) é a derivada de f e h'(x) a derivada de h.

Passo 4

Calcule as derivadas necessárias:
  • \displaystyle f(x)=x^{2}\Rightarrow f'(x)=2x.
  • \displaystyle h(x)=\ln x\Rightarrow h'(x)=\dfrac{1}{x} (derivada do logaritmo natural).
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=2x\cdot\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando o segundo termo:
u'(x)=2x\ln x + x.
Fatorando x fica mais compacto:
u'(x)=x\bigl(2\ln x + 1\bigr).

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia (Passo 2): como \displaystyle g(x)=e^{u(x)},
g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{2}\ln x e u'(x)=x\bigl(2\ln x + 1\bigr) obtemos
g'(x)=e^{x^{2}\ln x}\cdot x\bigl(2\ln x + 1\bigr).
Observação final (forma alternativa): como \displaystyle e^{x^{2}\ln x}=x^{x^{2}}, também se pode escrever
g'(x)=x^{x^{2}}\cdot x\bigl(2\ln x + 1\bigr).
Outra via curta (logaritmic differentiation): tomando \ln g(x)=x^{2}\ln x e derivando ambos os lados chega-se à mesma expressão para g'/g e, portanto, ao mesmo g'(x).

Resposta

\displaystyle g'(x)=x\bigl(2\ln x + 1\bigr)\,e^{x^{2}\ln x}

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