Derive a função.
p(t)=\ln \sqrt{t^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
p(t)=\ln\sqrt{t^{2}+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável independente é t.
  • A expressão interna é t^{2}+1.
  • A raiz quadrada aparece como \sqrt{t^{2}+1}.
  • Domínio: \,t\in\mathbb{R}\, porque t^{2}+1>0 para todo t, então o logaritmo está bem definido.
    O objetivo explícito é encontrar p'(t), a derivada de p em relação a t.

Passo 2

Primeira simplificação útil: tratar a raiz e usar a propriedade dos logaritmos. Lembrando que \sqrt{u}=u^{1/2} e que \ln(u^{a})=a\ln(u), reescrevemos p(t) como
p(t)=\ln\bigl((t^{2}+1)^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\ln(t^{2}+1).
Explicação didática: puxamos o expoente 1/2 para frente do logaritmo porque o log transforma potências em multiplicação; isso costuma simplificar a diferenciação.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de derivação para um produto constante vezes uma função: se p(t)=\tfrac{1}{2}\ln(u(t)), então
p'(t)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\ln(u(t))\bigr].
Explicação das regras usadas:
  • Regra do fator constante: \dfrac{d}{dt}[c\cdot f(t)]=c\cdot f'(t) para constante c.
  • Regra do logaritmo (regra da cadeia): \dfrac{d}{dt}[\ln(u(t))]=\dfrac{u'(t)}{u(t)}. Aqui a derivada do ln é 1/u multiplicada pela derivada interna u'(t).

Passo 4

Identificamos u(t)=t^{2}+1. Calculamos u'(t) usando a regra do poder: \dfrac{d}{dt}[t^{n}]=n t^{n-1}. Assim
u'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}+1\bigr)=2t+0=2t.
Explicação didática: a constante 1 desaparece na derivada; a derivada de t^{2} é 2t.

Passo 5

Substituímos u e u' na fórmula do passo 3:
p'(t)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u'(t)}{u(t)}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2t}{t^{2}+1}.
Agora simplificamos a expressão cancelando o 2:
p'(t)=\frac{t}{t^{2}+1}.
Explicação da simplificação: \tfrac{1}{2}\cdot 2t = t.

Passo 6

Checagem alternativa rápida (opcional, só para fixar o raciocínio): começar diretamente de p(t)=\ln\bigl(\sqrt{t^{2}+1}\bigr). Seja v(t)=\sqrt{t^{2}+1}=(t^{2}+1)^{1/2}. Então \dfrac{d}{dt}\ln(v(t))=\dfrac{v'(t)}{v(t)} e v'(t)=\tfrac{1}{2}(t^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2t=\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}. Assim
p'(t)=\frac{v'(t)}{v(t)}=\frac{\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}}{\sqrt{t^{2}+1}}=\frac{t}{t^{2}+1},
mesmo resultado; isso confirma que o cálculo está correto.

Resposta

\dfrac{t}{t^{2}+1}

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