Derive a função.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações relevantes dadas:
- A variável independente é
. - A expressão interna é
. - A raiz quadrada aparece como
. - Domínio:
porque para todo , então o logaritmo está bem definido.
O objetivo explícito é encontrar, a derivada de em relação a .
Passo 2
Primeira simplificação útil: tratar a raiz e usar a propriedade dos logaritmos. Lembrando que
e que
, reescrevemos
como
Explicação didática: puxamos o expoente
para frente do logaritmo porque o log transforma potências em multiplicação; isso costuma simplificar a diferenciação.
Passo 3
Agora aplicamos a regra de derivação para um produto constante vezes uma função: se
, então
Explicação das regras usadas:
- Regra do fator constante:
para constante . - Regra do logaritmo (regra da cadeia):
. Aqui a derivada do ln é multiplicada pela derivada interna .
Passo 4
Identificamos
. Calculamos
usando a regra do poder:
. Assim
Explicação didática: a constante
desaparece na derivada; a derivada de
é
.
Passo 5
Substituímos
e
na fórmula do passo 3:
Agora simplificamos a expressão cancelando o
:
Explicação da simplificação:
.
Passo 6
Checagem alternativa rápida (opcional, só para fixar o raciocínio): começar diretamente de
. Seja
. Então
e
. Assim
mesmo resultado; isso confirma que o cálculo está correto.