Derive a função
h(x)=7^sen(x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ h(x) = 7{\sin(x{3})} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções compostas que envolvem exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como derivar funções exponenciais com expoentes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que $ 7{\sin(x{3})} $ pode ser escrita usando a base $ e $ da seguinte maneira:
7^sin(x^3)
Isso porque $ a^{b} = e^{\ln(a) \cdot b} $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar $ h(x) $. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. No nosso caso, $ h(x) $ é uma função exponencial que envolve a função $ \sin(x^{3}) $.
A regra da cadeia diz que a derivada de $ e^{u(x)} $ é $ e^{u(x)} \cdot u’(x) $, onde $ u(x) $ é o expoente.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
h'(x) = e^ln(7) cdot sin(x^3) cdot ( ln(7) cdot ddx[sin(x^3)] )
Agora, precisamos derivar $ \sin(x^{3}) $.

Passo 5

Derivando $ \sin(x^{3}) $ com relação a $ x $, usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = x^{3} $. Então:
sin(x^3)

Passo 6

Substituindo essa derivada de volta na equação do Passo 4, temos:
h'(x) = e^ln(7) cdot sin(x^3) cdot ln(7) cdot cos(x^3) cdot 3x^2
Lembrando que $ e^{\ln(7) \cdot \sin(x^{3})} $ é igual a $ 7{\sin(x{3})} $, podemos simplificar a expressão.

Resposta

A derivada da função é:
h'(x) = 7^sin(x^3) cdot 3x^2 cdot ln(7) cdot cos(x^3)

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