Derive a função f(x)=log 3[e^3 x cdot raizx(3 x-4)^5].

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=log3l[e^3xraizx(3x-4)^5r]
e pede f'(x). Para isso, vamos usar a mudança de base do logaritmo, as propriedades de ln (produto, quociente e potência) e depois a derivada de função composta.

Passo 2

Usamos a mudança de base:
f(x)=1ln 3,lnl[e^3xraizx(3x-4)^5r]

Passo 3

Aplicamos as propriedades de logaritmo:
lnl[e^3xraizx(3x-4)^5r] =ln(e^3x)+ln(x^1/2)-lnl((3x-4)^5r)
Como ln(e^3x)=3x, ln(x^1/2)=tfrac12ln x e lnl((3x-4)^5r)=5ln(3x-4), fica
f(x)=1ln 3l(3x+tfrac12ln x-5ln(3x-4)r)

Passo 4

Derivamos termo a termo dentro dos parênteses. Lembrando que
tfracddxln(3x-4)=33x-4 por regra da cadeia, temos
ddx(3x)=3, ddxl(tfrac12ln xr)=tfrac12x, ddxl(-5ln(3x-4)r)=-5cdot33x-4
Mantendo o fator constante tfrac1ln3,
f'(x)=1ln3l(3+tfrac12x-153x-4r)

Resposta

f'(x)=1ln3l(3+12x-153x-4r)

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