Resolva a inequação:
2 x+1x-1>0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação 2x+1x-1>0. O conteúdo envolvido é inequações racionais: vamos precisar encontrar o domínio da expressão, os pontos em que numerador e denominador se anulam e depois fazer o estudo de sinais.

Passo 2

Determinamos onde numerador e denominador se anulam.
O numerador 2x+1=0 implica
x=-tfrac12
O denominador x-1=0 implica
x=1,
que não pertence ao domínio. Logo, o domínio da expressão é
,xinRmid xneq 1

Passo 3

Para estudar o sinal de 2x+1x-1 observamos os fatores 2x+1 e x-1. Os pontos críticos são -tfrac12 e 1, que dividem o eixo real em três intervalos.

Passo 4

Testamos a expressão em cada intervalo:
Para x<-tfrac12 (ex.: x=-1):
2x+1=2(-1)+1=-1<0 e x-1=-2<0, logo o quociente é positivo.
Para -tfrac12<x<1 (ex.: x=0):
2x+1=1>0 e x-1=-1<0, logo o quociente é negativo.
Para x>1 (ex.: x=2):
2x+1=5>0 e x-1=1>0, logo o quociente é positivo.

Passo 5

Como queremos 2x+1x-1>0, selecionamos os intervalos onde o quociente saiu positivo, ou seja,
x<-tfrac12 e x>1.

Resposta

(-infty,,-tfrac12);cup;(1,,infty)

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