Exercício 6. (Apostol seção 4.4 exercícios 4) Seja
uma transformação linear e
um autovalor de
. Mostre que
ou
são autovalores de
. (Dica:
)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
e que
é autovalor de
. Isso significa que existe um vetor não-nulo
tal que
Nosso objetivo é mostrar que então ou
ou
é autovalor de
. Para isso vamos usar a fatoração sugerida:
Passo 2
Aplicando a fatoração ao autovetor
, obtemos
Defina então
A igualdade acima vira
Passo 3
Agora distinguimos dois casos:
. Se
, então
o que mostra que
é autovalor de
(com autovetor
).
. Se
, então
implica
mostrando que
é autovalor de
(com autovetor
).
Resposta
Pelo menos um entre
e
é autovalor de
.