Exercício 6. (Apostol seção 4.4 exercícios 4) Seja T: V V uma transformação linear e lambda^2 um autovalor de T^2. Mostre que lambda ou -lambda são autovalores de T. (Dica: T^2-lambda^2 I=(T+lambda I)(T-lambda I) )

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear T:Vto V e que lambda^2 é autovalor de T^2. Isso significa que existe um vetor não-nulo win V tal que
T^2w=lambda^2w
Nosso objetivo é mostrar que então ou lambda ou -lambda é autovalor de T. Para isso vamos usar a fatoração sugerida:
T^2-lambda^2I = (T-lambda I)(T+lambda I)

Passo 2

Aplicando a fatoração ao autovetor w, obtemos
0 ;=;(T^2-lambda^2I),w ;=;(T-lambda I),(T+lambda I),w
Defina então
u ;=;(T+lambda I),w
A igualdade acima vira
(T-lambda I),u ;=;0

Passo 3

Agora distinguimos dois casos:
1. Se u=0, então
(T+lambda I),w=0 ;Longrightarrow; T,w=-lambda,w,
o que mostra que -lambda é autovalor de T (com autovetor wneq0).
2. Se uneq0, então (T-lambda I),u=0 implica
T,u=lambda,u,
mostrando que lambda é autovalor de T (com autovetor uneq0).

Resposta

Pelo menos um entre lambda e -lambda é autovalor de T.

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