Derive a função:
P(w)=\frac{2 w^{2}-w+4}{\sqrt{w}}

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos.
  • Está dado \;P(w)=\dfrac{2 w^{2}-w+4}{\sqrt{w}}.
  • A tarefa é calcular a derivada \;P'(w).
  • Observação importante: como aparece \sqrt{w}, a função está definida para \;w>0.

Passo 2

Reescrever a função em potências para facilitar a diferenciação.
Usamos a regra de potências \; \sqrt{w}=w^{1/2} e divisão por potência equivale a multiplicar por potência negativa. Assim:
P(w) = (2 w^{2}-w+4)\cdot w^{-1/2}.
Agora multiplicamos termo a termo (aplicando w^{a}\cdot w^{b}=w^{a+b}):
2 w^{2}\cdot w^{-1/2}=2 w^{3/2},\qquad (-w)\cdot w^{-1/2}=-w^{1/2},\qquad 4\cdot w^{-1/2}=4 w^{-1/2}.
Portanto
P(w)=2 w^{3/2}-w^{1/2}+4 w^{-1/2}.

Passo 3

Relembrando a regra que vou usar (a “aula” rápida).
Regra do poder (power rule): para um expoente constante \;n, a derivada de \;w^{n} é
\frac{d}{dw}\bigl(w^{n}\bigr)=n\,w^{n-1}.
Aqui \;n é um número real fixo e \;w é a variável. Exemplo simples: \dfrac{d}{dw}(w^{3/2})=\tfrac{3}{2}w^{1/2}.
Também podemos derivar coeficientes constantes multiplicando normalmente: \dfrac{d}{dw}\bigl(c\cdot w^{n}\bigr)=c\cdot n\,w^{n-1}.

Passo 4

Aplicar a regra do poder termo a termo à expressão já simplificada.
Derivamos cada termo:
  • Para \;2 w^{3/2}:
\frac{d}{dw}\bigl(2 w^{3/2}\bigr)=2\cdot\frac{3}{2}w^{1/2}=3 w^{1/2}.
  • Para -w^{1/2}:
\frac{d}{dw}\bigl(-w^{1/2}\bigr)=-\frac{1}{2}w^{-1/2}.
  • Para 4 w^{-1/2}:
\frac{d}{dw}\bigl(4 w^{-1/2}\bigr)=4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)w^{-3/2}=-2 w^{-3/2}.

Passo 5

Somar as derivadas parciais para obter P'(w).
Juntando os resultados:
P'(w)=3 w^{1/2}-\tfrac{1}{2}w^{-1/2}-2 w^{-3/2}.

Passo 6

Opcional: escrever a derivada como uma única fração (para ficar mais “arrumado”).
Colocando tudo sobre o denominador comum \;2 w^{3/2}:
3 w^{1/2}=\frac{6 w^{2}}{2 w^{3/2}},\qquad -\tfrac{1}{2}w^{-1/2}=\frac{-w}{2 w^{3/2}},\qquad -2 w^{-3/2}=\frac{-4}{2 w^{3/2}}.
Somando numeradores:
P'(w)=\frac{6 w^{2}-w-4}{2 w^{3/2}}.

Resposta

\dfrac{6 w^{2}-w-4}{2 w^{3/2}}

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