Mostre que os campos vetoriais abaixo são conservativos e use essa informação para calcular a integral \int_{C} F \cdot d r sobre a curva C. F(x, y)=\left(2 y^{3}-12 x^{3} y^{3}, 4 x y-9 x^{4} y^{2}\right) e C é um caminho que liga os pontos (1,1) a (3,2).
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial e o caminho:
Campo vetorial F(x,y)=\big(P(x,y),\,Q(x,y)\big) comP(x,y)=2y^{3}-12x^{3}y^{3},\qquad Q(x,y)=4xy-9x^{4}y^{2}.
Curva C é um caminho qualquer que liga os pontos (1,1) a (3,2).
O que o enunciado pede:
Mostrar que o(s) campo(s) vetorial(is) é(são) conservativo(s).
Usar essa informação para calcular a integral \displaystyle\int_{C} F\cdot dr.
Passo 2
O que significa ser conservativo e como testar isso (explicação didática).
Um campo vetorial F=\big(P,Q\big) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) (chamada potencial) tal que\nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=(P,Q).Nesse caso a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos extremos: \int_C F\cdot dr=\varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início}).
Em duas variáveis, um teste prático: se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa (por exemplo \mathbb{R}^2) então uma condição necessária e suficiente para F ser conservativo é\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em toda a região.}Explico rápido por que: essa igualdade é a anulação do “rotacional” em 2D e expressa a compatibilidade entre as derivadas que permitiria integrar P em x e obter a mesma \varphi que se obteria integrando Q em y.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais envolvidas (fazendo as contas passo a passo).
Primeiro calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}. ComoP(x,y)=2y^{3}-12x^{3}y^{3},derivando em relação a y:\frac{\partial P}{\partial y}=6y^{2}-36x^{3}y^{2}.(Detalhe: \dfrac{d}{dy}(2y^{3})=6y^{2} e \dfrac{d}{dy}(-12x^{3}y^{3})=-12x^{3}\cdot 3y^{2}=-36x^{3}y^{2}.)
Agora calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. ComoQ(x,y)=4xy-9x^{4}y^{2},derivando em relação a x:\frac{\partial Q}{\partial x}=4y-36x^{3}y^{2}.(Detalhe: \dfrac{d}{dx}(4xy)=4y e \dfrac{d}{dx}(-9x^{4}y^{2})=-9\cdot 4x^{3}y^{2}=-36x^{3}y^{2}.)
Passo 4
Compare as derivadas e conclua sobre conservatividade.
Temos\frac{\partial P}{\partial y}=6y^{2}-36x^{3}y^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=4y-36x^{3}y^{2}.As duas expressões diferem porque 6y^{2} não é igual a 4y para valores gerais de y. Logo\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{(em geral)}.
Conclusão: o campo F NÃO é conservativo na região considerada (\mathbb{R}^2). Portanto não existe potencial \varphi definido em toda \mathbb{R}^2 tal que \nabla\varphi=F.
Passo 5
Consequência prática para o cálculo da integral (explicação).
Como F não é conservativo, a integral de linha \displaystyle\int_{C}F\cdot dr depende do caminho C que liga (1,1) a (3,2). Ou seja, não é possível determinar um valor único da integral apenas conhecendo os pontos inicial e final.
Portanto não se pode “usar” a conservatividade para calcular a integral — porque ela não existe aqui.
Passo 6
Exemplo calculado para ilustrar dependência do caminho (mostrando que o valor muda com o caminho). Vou calcular a integral em um caminho específico e assim mostrar que um valor concreto existe só se o caminho for dado.
Escolho o caminho poligonal composto por:
segmento C_1 de (1,1) a (3,1) (varia x, tem y=1);
segmento C_2 de (3,1) a (3,2) (varia y, tem x=3).
Calcule a integral em C_1:
Em C_1: y=1, dy=0, x vai de 1 a 3. A contribuição é\int_{C_1}F\cdot dr=\int_{1}^{3} P(x,1)\,dx =\int_{1}^{3}\big(2\cdot 1^{3}-12x^{3}\cdot 1^{3}\big)\,dx =\int_{1}^{3}(2-12x^{3})\,dx.Calcule:\int_{1}^{3}2\,dx=2[x]_{1}^{3}=4, \qquad \int_{1}^{3}-12x^{3}\,dx=-12\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{1}^{3}=-3[x^{4}]_{1}^{3}=-3(81-1)=-240.Então\int_{C_1}F\cdot dr=4-240=-236.
Calcule a integral em C_2:
Em C_2: x=3, dx=0, y vai de 1 a 2. A contribuição é\int_{C_2}F\cdot dr=\int_{1}^{2} Q(3,y)\,dy =\int_{1}^{2}\big(4\cdot 3\cdot y-9\cdot 3^{4}y^{2}\big)\,dy.Note que 3^{4}=81, então 9\cdot 81=729. Assim\int_{1}^{2}(12y-729y^{2})\,dy =\Big[6y^{2}-243y^{3}\Big]_{1}^{2}.Avaliando:\big(6\cdot 4-243\cdot 8\big)-\big(6\cdot1-243\cdot1\big) =(24-1944)-(6-243)=(-1920)-(-237)=-1683.
Isso mostra um valor concreto para um camino; outro caminho provavelmente dará outro valor, porque o campo não é conservativo.
Resposta
O campo F NÃO é conservativo (pois \partial P/\partial y=6y^{2}-36x^{3}y^{2}\neq 4y-36x^{3}y^{2}=\partial Q/\partial x em geral).
Portanto a integral \displaystyle\int_{C}F\cdot dr depende do caminho e não pode ser determinada apenas pelos pontos finais (1,1) e (3,2).
Por exemplo, para o caminho poligonal que vai de (1,1) a (3,1) e depois a (3,2) obtém-se \displaystyle\int_{C}F\cdot dr=-1919.