Derive a função:
F(t)=(2 t-3)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função F(t)=(2t-3)^{2} e pede que a derivemos em relação a t. Ou seja, encontrar F'(t), a taxa de variação de F em função de t.

Passo 2

Lembrete das ferramentas que podemos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da derivação termo a termo: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de a t^{n} (com a constante) é a n t^{n-1}.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se F(t)=G(H(t)), então F'(t)=G'(H(t))\cdot H'(t). Aqui G é a função externa e H é a função interna.
    Ambas levam ao mesmo resultado; vou usar o método mais básico primeiro (expandir) e depois mostrar a aplicação da regra da cadeia como verificação.

Passo 3

Expandir o quadrado para transformar numa soma de termos polinomiais (isso facilita usar a derivada termo a termo). Calcular o quadrado:
(2t-3)^{2} = (2t)^{2} - 2\cdot(2t)\cdot 3 + 3^{2}.
Agora calcular cada termo:
(2t)^{2} = 4t^{2},\qquad 2\cdot(2t)\cdot 3 = 12t,\qquad 3^{2}=9.
Portanto:
F(t) = 4t^{2} - 12t + 9.

Passo 4

Derivar termo a termo usando a regra do polinômio. Para cada termo:
  • Derivada de 4t^{2} é 4\cdot 2 t^{1} = 8t.
  • Derivada de -12t é -12.
  • Derivada de 9 (constante) é 0.
    Somando:
F'(t) = 8t - 12 + 0 = 8t - 12.

Passo 5

Verificação usando a regra da cadeia (método alternativo): considere a função interna u(t)=2t-3 e a função externa G(u)=u^{2}. Então F(t)=G(u(t)).
  • Primeiro, G'(u)=2u.
  • Segundo, u'(t)=2.
    Aplicando a regra da cadeia:
F'(t)=G'(u(t))\cdot u'(t)=2(2t-3)\cdot 2 = 4(2t-3).
Agora simplificando:
4(2t-3)=8t-12,
que é o mesmo resultado obtido pela expansão.

Passo 6

Pequeno comentário motivador: deu para ver que tanto expandir quanto usar regra da cadeia são maneiras diretas e rápidas; na prova escolha a que for menos propensa a erro para você. Bora com confiança!

Resposta

8t-12

Exercícios relacionados