Derive a função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a derivemos em relação a
. Ou seja, encontrar
, a taxa de variação de
em função de
.
Passo 2
Lembrete das ferramentas que podemos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da derivação termo a termo: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de
(com constante) é . - Regra da cadeia (para funções compostas): se
, então . Aqui é a função externa e é a função interna.
Ambas levam ao mesmo resultado; vou usar o método mais básico primeiro (expandir) e depois mostrar a aplicação da regra da cadeia como verificação.
Passo 3
Expandir o quadrado para transformar numa soma de termos polinomiais (isso facilita usar a derivada termo a termo). Calcular o quadrado:
Agora calcular cada termo:
Portanto:
Passo 4
Derivar termo a termo usando a regra do polinômio. Para cada termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Somando:
Passo 5
Verificação usando a regra da cadeia (método alternativo): considere a função interna
e a função externa
. Então
.
- Primeiro,
. - Segundo,
.
Aplicando a regra da cadeia:
Agora simplificando:
que é o mesmo resultado obtido pela expansão.
Passo 6
Pequeno comentário motivador: deu para ver que tanto expandir quanto usar regra da cadeia são maneiras diretas e rápidas; na prova escolha a que for menos propensa a erro para você. Bora com confiança!