Derive a função:
f(x)=ll x^3 sen(1x^4) & x neq 0 0 & x=0
Escolha uma opção:
f^prime(x)=ll -3 x^2 sen(1x^4)-4x^2 cos (1x^4) & x neq 0 0 & x=0
f^prime(x)=ll-4 x^2 cos (1x^4)+3x^2 sen(1x^4) & x neq 0 0 & x=0
f^prime(x)=ll4 x^2 cos (1x^4)-3x^2 sen(1x^4) & x neq 0 0 & x=0
Nenhuma das demais alternativas
f^prime(x)=ll3 x^2 sen(1x^4)+4x^2 cos (1x^4) & x neq 0 0 & x=0
f^prime(x)=l3 x^2 sen(1x^4)-4x^2 cos (1x^4) x neq 0 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar uma função $ f(x) $ que é definida de forma diferente para $ x \neq 0 $ e para $ x = 0 $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções definidas por partes. Vamos precisar aplicar a regra do produto e entender como derivar funções com senos e cossenos que têm argumentos mais complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar $ f(x) $ quando $ x \neq 0 $. A função é dada por:
f(x)
Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.
Vamos identificar:
  • $ u(x) = x^{3} $
  • $ v(x) = \sin\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $
Primeiro, derivamos $ u(x) $:
x neq 0
Agora, derivamos $ v(x) $. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é necessária quando temos uma função dentro de outra função. A derivada de $ \sin(g(x)) $ é $ \cos(g(x)) \cdot g’(x) $.
Aqui, $ g(x) = \frac{1}{x^{4}} $, então:
f(x) = x^3 cdot sin(1x^4)
Portanto:
u(x) cdot v(x)
Agora, aplicando a regra do produto:
u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Simplificando:
u(x) = x^3

Passo 3

Agora vamos derivar $ f(x) $ quando $ x = 0 $. A função é definida como $ f(0) = 0 $. Para encontrar $ f’(0) $, usamos a definição de derivada:
f(x)
Substituindo $ f(x) $ para $ x \neq 0 $:
x = 0
Sabemos que $ \sin(\theta) $ está sempre entre -1 e 1. Portanto:
f(0) = 0
Como $ x^{2} $ tende a 0 quando $ x $ tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche, temos:
f'(0)

Resposta

A derivada da função $ f(x) $ é:
f(x)

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