Derive a função:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar uma função $ f(x) $ que é definida de forma diferente para $ x \neq 0 $ e para $ x = 0 $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções definidas por partes. Vamos precisar aplicar a regra do produto e entender como derivar funções com senos e cossenos que têm argumentos mais complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar $ f(x) $ quando $ x \neq 0 $. A função é dada por:
Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.
Vamos identificar:
- $ u(x) = x^{3} $
- $ v(x) = \sin\left(\frac{1}{x^{4}}\right) $
Primeiro, derivamos $ u(x) $:
Agora, derivamos $ v(x) $. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é necessária quando temos uma função dentro de outra função. A derivada de $ \sin(g(x)) $ é $ \cos(g(x)) \cdot g’(x) $.
Aqui, $ g(x) = \frac{1}{x^{4}} $, então:
Portanto:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora vamos derivar $ f(x) $ quando $ x = 0 $. A função é definida como $ f(0) = 0 $. Para encontrar $ f’(0) $, usamos a definição de derivada:
Substituindo $ f(x) $ para $ x \neq 0 $:
Sabemos que $ \sin(\theta) $ está sempre entre -1 e 1. Portanto:
Como $ x^{2} $ tende a 0 quando $ x $ tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche, temos:
Resposta
A derivada da função $ f(x) $ é: