Suponha que o PVI de segunda ordem
l ddottheta=theta theta(0)=0, dottheta(0)=1
seja usado para definir o seno hiperbólico.
(i) Defina cosh por um PVI análogo. Mostre, por unicidade das soluções do PVI, que dd x[senh x]=cosh x (e vice-versa).

Passo 1

O enunciado define senh x como solução do PVI de segunda ordem ddottheta=theta,theta(0)=0,;dottheta(0)=1 Precisamos definir cosh x por um PVI análogo e usar o teorema de unicidade para mostrar que as derivadas de senh x e cosh x se correspondem.

Passo 2

Definimos cosh x como a solução única do PVI
ddotphi=phi,phi(0)=1,;dotphi(0)=0
Esse é o mesmo tipo de PVI de senh x, só mudam as condições iniciais.

Passo 3

Considere g(x)= ddx[sinh x]. Como senh satisfaz (\ddot\theta=\theta), temos
g''(x)=d^2dx^2(sinh x)=ddx(ddottheta)=ddx(theta)=g(x)
Além disso,
g(0)=sinh'(0)=1, g'(0)=sinh''(0)=sinh(0)=0
Logo g(x) satisfaz exatamente o PVI de cosh x. Pela unicidade, g(x)=cosh x.

Passo 4

De modo análogo, defina h(x)= ddx[cosh x]. Usando (\ddot\phi=\phi) para cosh,
h''(x)=d^2dx^2(cosh x)=ddx(ddotphi)=ddx(phi)=h(x)
E as condições iniciais são
h(0)=cosh'(0)=0, h'(0)=cosh''(0)=cosh(0)=1,
que coincidem com o PVI de senh x. Pela unicidade, h(x)=senh x.

Resposta

Definimos
cosh x pela solução de ddotphi=phi,;phi(0)=1,;dotphi(0)=0 çã
Então
ddx[sinh x]=cosh x, ddx[cosh x]=sinh x

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