Suponha que o PVI de segunda ordem
seja usado para definir o seno hiperbólico.
(i) Defina cosh por um PVI análogo. Mostre, por unicidade das soluções do PVI, que
(e vice-versa).
(i) Defina cosh por um PVI análogo. Mostre, por unicidade das soluções do PVI, que
Passo 1
O enunciado define senh x como solução do PVI de segunda ordem
Precisamos definir cosh x por um PVI análogo e usar o teorema de unicidade para mostrar que as derivadas de senh x e cosh x se correspondem.
Passo 2
Definimos cosh x como a solução única do PVI
Esse é o mesmo tipo de PVI de senh x, só mudam as condições iniciais.
Passo 3
Considere g(x)=
. Como senh satisfaz (\ddot\theta=\theta), temos
Além disso,
Logo g(x) satisfaz exatamente o PVI de cosh x. Pela unicidade, g(x)=cosh x.
Passo 4
De modo análogo, defina h(x)=
. Usando (\ddot\phi=\phi) para cosh,
E as condições iniciais são
que coincidem com o PVI de senh x. Pela unicidade, h(x)=senh x.
Resposta
Definimos
Então