Questão 4: EDO Não Homogênea com Cosseno Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
- (B) Determine as constantes
e
utilizando as condições iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para determinar as constantes $ A $ e $ B $ usando as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Para isso, vamos trabalhar com equações diferenciais ordinárias (EDOs) não homogêneas, especificamente aquelas que têm termos de cosseno. Vamos precisar entender como achar a solução geral da EDO e aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver $ y’’ + 4y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos achar uma solução particular da equação completa $ y’’ + 4y = \cos(x) $. Para isso, assumimos uma forma para $ y_p(x) $ que seja semelhante ao termo não homogêneo, que é $ \cos(x) $. Vamos supor:
Onde $ C $ e $ D $ são constantes a serem encontradas.
Passo 4
Substituímos $ y_p(x) $ na equação diferencial original para encontrar $ C $ e $ D $:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Equacionando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Agora, combinamos a solução homogênea $ y_h(x) $ com a solução particular $ y_p(x) $ para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $. Primeiro, calculamos $ y(0) $:
Sabemos que $ y(0) = 1 $, então:
Agora, vamos calcular a derivada $ y’(x) $:
Aplicando $ y’(0) = 0 $:
Então:
Resposta
As constantes são $ A = \dfrac{2}{3} $ e $ B = 0 $.