Questão 4: EDO Não Homogênea com Cosseno Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
y^prime prime+4 y=cos (x)
  • (B) Determine as constantes A e B utilizando as condições iniciais:
y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para determinar as constantes $ A $ e $ B $ usando as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Para isso, vamos trabalhar com equações diferenciais ordinárias (EDOs) não homogêneas, especificamente aquelas que têm termos de cosseno. Vamos precisar entender como achar a solução geral da EDO e aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver $ y’’ + 4y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
y'' + 4y = 0
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos achar uma solução particular da equação completa $ y’’ + 4y = \cos(x) $. Para isso, assumimos uma forma para $ y_p(x) $ que seja semelhante ao termo não homogêneo, que é $ \cos(x) $. Vamos supor:
y'' + 4y = cos(x)
Onde $ C $ e $ D $ são constantes a serem encontradas.

Passo 4

Substituímos $ y_p(x) $ na equação diferencial original para encontrar $ C $ e $ D $:
yp(x)
Calculando as derivadas:
C
D
Substituindo na equação:
yp'' + 4yp = cos(x)
yp' = -C sin(x) + D cos(x)
yp'' = -C cos(x) - D sin(x)
Equacionando os coeficientes:
(-C cos(x) - D sin(x)) + 4(C cos(x) + D sin(x)) = cos(x)
(-C + 4C)cos(x) + (-D + 4D)sin(x) = cos(x)
Então, a solução particular é:
3C cos(x) + 3D sin(x) = cos(x)

Passo 5

Agora, combinamos a solução homogênea $ y_h(x) $ com a solução particular $ y_p(x) $ para obter a solução geral da equação diferencial:
yh(x)

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $. Primeiro, calculamos $ y(0) $:
A
Sabemos que $ y(0) = 1 $, então:
B
Agora, vamos calcular a derivada $ y’(x) $:
y(0)
Aplicando $ y’(0) = 0 $:
y(0) = A cos(0) + B sin(0) + 13 cos(0) = A cdot 1 + B cdot 0 + 13 cdot 1 = A + 13
Então:
y(0) = 1

Resposta

As constantes são $ A = \dfrac{2}{3} $ e $ B = 0 $.

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