Seja g: R^n R uma função de classe C^1 e F: R^n times R R dada por
F(x, y)=y(1+y^6)-g(x)
(1,0 ponto) a) Mostre que para cada x in R^n, existe um único y in R tal que F(x, y)=0.
(1,5 ponto) b) Mostre que existe uma única função f: R^n R tal que g(x)=f(x)(1+f(x)^6). Prove que ela é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado dá uma função de classe C^1
g:R^ntoR
e define
F(x,y)=yl(1+y^6r)-g(x)
Em (a) precisamos mostrar que, para cada xinR^n, existe um único yinR com F(x,y)=0. Em (b) definiremos então
f(x);=;esse único valor de y ú
e usaremos o Teorema da Função Implícita para provar que f:R^ntoR é bem definida, única e de classe C^1.

Passo 2

Definimos a função unidimensional
varphi(y)=yl(1+y^6r)=y+y^7
Calculamos a derivada
varphi'(y)=1+7y^6>0forall,yinR,
portanto varphi é estritamente crescente e contínua.

Passo 3

Como varphi é contínua, estritamente crescente e
limyto-inftyvarphi(y)=-infty, limyto+inftyvarphi(y)=+infty,
segue que, para cada valor real g(x), existe um único y tal que
varphi(y)=g(x),
ou seja, existe exatamente uma solução real da equação
yl(1+y^6r)=g(x)
Isto prova a existência e unicidade desejadas em (a).

Passo 4

Definimos então
f(x)=único y tal que F(x,y)=0, ú
isto é,
g(x)=f(x)l(1+f(x)^6r)
Essa definição mostra que existe uma única função f:R^ntoR satisfazendo a relação requerida.

Passo 5

Para aplicar o Teorema da Função Implícita, observamos
partial Fpartial y(x,y) =1+7y^6>0forall,(x,y)
Como essa derivada parcial nunca se anula, o Teorema da Função Implícita garante que, localmente, a solução y=f(x) varia de modo C^1 em x. Mas como já sabemos que para cada x há uma única solução global, concluímos que f é de classe C^1 em todo R^n.

Resposta

a) Para cada xinR^n existe um único yinR tal que
yl(1+y^6r)=g(x),
pois a função varphi(y)=y+y^7 é contínua, estritamente crescente e surjetora em R.
b) A função
f:R^ntoR, f(x) tal que g(x)=f(x)l(1+f(x)^6r)
é única e, pelo Teorema da Função Implícita (já que partial F/partial y=1+7y^6>0), f é de classe C^1.

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