Seja
uma função de classe
e
dada por
(1,0 ponto) a) Mostre que para cada
, existe um único
tal que
.
(1,5 ponto) b) Mostre que existe uma única função
tal que
. Prove que ela é de classe
.
(1,5 ponto) b) Mostre que existe uma única função
Passo 1
O enunciado dá uma função de classe
e define
Em (a) precisamos mostrar que, para cada
, existe um único
com
. Em (b) definiremos então
e usaremos o Teorema da Função Implícita para provar que
é bem definida, única e de classe
.
Passo 2
Definimos a função unidimensional
Calculamos a derivada
portanto
é estritamente crescente e contínua.
Passo 3
Como
é contínua, estritamente crescente e
segue que, para cada valor real
, existe um único
tal que
ou seja, existe exatamente uma solução real da equação
Isto prova a existência e unicidade desejadas em (a).
Passo 4
Definimos então
isto é,
Essa definição mostra que existe uma única função
satisfazendo a relação requerida.
Passo 5
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, observamos
Como essa derivada parcial nunca se anula, o Teorema da Função Implícita garante que, localmente, a solução
varia de modo
em
. Mas como já sabemos que para cada
há uma única solução global, concluímos que
é de classe
em todo
.
Resposta
a) Para cada
existe um único
tal que
pois a função
é contínua, estritamente crescente e surjetora em
.
b) A função
é única e, pelo Teorema da Função Implícita (já que
),
é de classe
.