Derive a função
(e) u=\sqrt[3]{t}+4 \sqrt{t^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função u em função de t. Ou seja, queremos encontrar \dfrac{du}{dt} quando
u=\sqrt[3]{t}+4 \sqrt{t^{3}}.
Informações dadas que são relevantes:
u=\sqrt[3]{t}+4 \sqrt{t^{3}}.
Observação sobre domínio: como aparece \sqrt{t^{3}} (a raiz quadrada), para que tudo seja real é necessário t\ge 0. Portanto faremos a diferenciação considerando t>0 (mais adiante comento sobre t=0).

Passo 2

Primeiro passo técnico: transformar radicais em potências, porque com potências aplicamos facilmente a regra do poder. Regras usadas: (a^b)^c = a^{bc} e \sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
\sqrt[3]{t}=t^{1/3},
\sqrt{t^{3}}=(t^{3})^{1/2}=t^{3/2}.
Assim podemos reescrever a função como
u=t^{1/3}+4t^{3/2}.

Passo 3

Relembrando a regra de derivação que vamos usar (a “regra do poder”): para uma potência de t com expoente real n,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
Aqui n é o expoente (um número real) e t é a variável. Também usamos a regra do fator constante: se c é constante, \dfrac{d}{dt}\bigl(c\cdot f(t)\bigr)=c\cdot f'(t). Exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dt}(t^{5})=5t^{4}.

Passo 4

Aplicamos a regra do poder ao primeiro termo t^{1/3}. Usando \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n t^{n-1} com n=\tfrac{1}{3}:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{1/3}\bigr)=\frac{1}{3}\,t^{1/3-1}=\frac{1}{3}\,t^{-2/3}.

Passo 5

Agora o segundo termo 4t^{3/2}. Pelo fator constante, derivamos t^{3/2} e multiplicamos por 4. Com n=\tfrac{3}{2}:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3/2}\bigr)=\frac{3}{2}\,t^{3/2-1}=\frac{3}{2}\,t^{1/2}.
Multiplicando pela constante 4:
\frac{d}{dt}\bigl(4t^{3/2}\bigr)=4\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2}=6\,t^{1/2}.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos obtemos a derivada total:
\frac{du}{dt}=\frac{1}{3}\,t^{-2/3}+6\,t^{1/2}.
Podemos também escrever essa resposta em notação de radicais (mais familiar em provas):
\frac{du}{dt}=\frac{1}{3\sqrt[3]{t^{2}}}+6\sqrt{t}.
Obs.: essas fórmulas valem para t>0. Em t=0 o primeiro termo \frac{1}{3}t^{-2/3} diverge (tende a infinito), então a derivada não é finita em t=0.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em t=1,
\frac{du}{dt}\Big|_{t=1}=\frac{1}{3}\cdot 1^{-2/3}+6\cdot 1^{1/2}=\frac{1}{3}+6=\frac{19}{3}.

Resposta

\dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{3}\,t^{-2/3}+6\,t^{1/2}
\dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{t^{2}}}+6\sqrt{t}

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