Derive a função
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
em função de
. Ou seja, queremos encontrar
quando
Informações dadas que são relevantes:
Observação sobre domínio: como aparece
(a raiz quadrada), para que tudo seja real é necessário
. Portanto faremos a diferenciação considerando
(mais adiante comento sobre
).
Passo 2
Primeiro passo técnico: transformar radicais em potências, porque com potências aplicamos facilmente a regra do poder. Regras usadas:
e
.
Assim podemos reescrever a função como
Passo 3
Relembrando a regra de derivação que vamos usar (a “regra do poder”): para uma potência de
com expoente real
,
Aqui
é o expoente (um número real) e
é a variável. Também usamos a regra do fator constante: se
é constante,
. Exemplo rápido para fixar:
.
Passo 4
Aplicamos a regra do poder ao primeiro termo
. Usando
com
:
Passo 5
Agora o segundo termo
. Pelo fator constante, derivamos
e multiplicamos por
. Com
:
Multiplicando pela constante
:
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos obtemos a derivada total:
Podemos também escrever essa resposta em notação de radicais (mais familiar em provas):
Obs.: essas fórmulas valem para
. Em
o primeiro termo
diverge (tende a infinito), então a derivada não é finita em
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em
,