Derive a função
(d) h(t)=\sqrt{t}-4 e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(t)=\sqrt{t}-4e^{t}.
Informações dadas que vamos usar: a função é a diferença de duas parcelas, a primeira é uma raiz quadrada \sqrt{t} (que só está definida para \;t>0\;) e a segunda é um múltiplo da função exponencial e^{t}. A tarefa é encontrar h'(t), a derivada de h em termos de t.

Passo 2

Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada da diferença é a diferença das derivadas. Em forma matemática,
(f-g)' = f' - g'.
Aplicando isso a h(t) obtemos que
h'(t) = \frac{d}{dt}\big(\sqrt{t}\big) - \frac{d}{dt}\big(4e^{t}\big).
Agora vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.

Passo 3

Derivada de \sqrt{t}. Primeiro reescrevemos a raiz como potência:
\sqrt{t} = t^{1/2}.
Usamos a regra do poder (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dt}\big(t^{n}\big) = n\,t^{n-1},
desde que t esteja no domínio apropriado (aqui \;t>0\; para n=\tfrac{1}{2}). Aplicando com n=\tfrac{1}{2} temos
\frac{d}{dt}\big(t^{1/2}\big) = \tfrac{1}{2}\,t^{1/2-1} = \tfrac{1}{2}\,t^{-1/2}.
Reescrevendo t^{-1/2} como \dfrac{1}{\sqrt{t}}, ficamos com
\frac{d}{dt}\big(\sqrt{t}\big) = \frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 4

Derivada de -4e^{t}. Primeiro aplicamos a regra do fator constante: se c é constante e f é diferenciável então
\frac{d}{dt}\big(c\,f(t)\big) = c\,f'(t).
Aqui c=-4 e f(t)=e^{t}. Sabemos que a derivada da exponencial é ela mesma:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big) = e^{t}.
Portanto
\frac{d}{dt}\big(-4e^{t}\big) = -4\,e^{t}.

Passo 5

Agora juntamos os resultados das Passos 3 e 4 usando a linearidade da derivada (Passo 2):
h'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} - 4e^{t}.
Isso é válido para \;t>0\; (por causa da raiz), e a parte exponencial está bem definida para todo t.

Resposta

h'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}-4e^{t}

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