Derive a função
(l) f(x)=x e^{x} \csc x

Passo 1

O enunciado fornece a função f e pede sua derivada. Informações dadas e o que se pede:
f(x)=x e^{x} \csc x.
  • Pergunta: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.
  • Observação importante sobre onde a derivada existe: a função usa \csc x, então f (e sua derivada) só estão definidas quando \sin x \neq 0 (ou seja, x \neq k\pi para k\in\mathbb{Z}). Vou pressupor que estamos em pontos onde \sin x\neq 0.

Passo 2

Decisão do método (sem muita firula): a função é produto de duas partes que vou chamar de u(x) e v(x), com
u(x)=x e^{x},\qquad v(x)=\csc x.
Vou usar a regra do produto para duas funções, que diz:
(uv)'=u'v+uv'.
Explico rápido essa regra: ela vem de aproximar cada fator por sua expansão linear e multiplicar; o resultado é a soma da derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Aqui precisamos então de u'(x) e v'(x).

Passo 3

Calcular u'(x), onde u(x)=x e^{x}. Novamente isso é produto de x por e^{x}, então aplicamos a regra do produto:
u'(x) = (x)'\,e^{x} + x\,(e^{x})'.
Sabemos que (x)'=1 e (e^{x})'=e^{x}. Substituindo,
u'(x) = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = e^{x} + x e^{x}.
Podemos fatorar e^{x} para ficar mais enxuto:
u'(x)=e^{x}(1+x).

Passo 4

Calcular v'(x), onde v(x)=\csc x. Vou derivar usando a forma \csc x = (\sin x)^{-1} e a regra da cadeia. Se v(x)=(\sin x)^{-1}, então
v'(x) = -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot(\sin x)' = -\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Agora uso identidades trigonométricas para escrever essa forma de modo padrão: \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Assim
-\frac{\cos x}{\sin^{2}x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\csc x\cot x.
Portanto
v'(x) = -\csc x\cot x.

Passo 5

Aplicar a regra do produto f'(x)=u'v+u v' substituindo u,u',v,v' encontrados:
f'(x) = \big(e^{x}(1+x)\big)\,\csc x + \big(x e^{x}\big)\,(-\csc x\cot x).
Escrevendo sem parênteses:
f'(x) = e^{x}(1+x)\csc x - x e^{x}\csc x\cot x.

Passo 6

Fatorar os termos comuns para simplificar e obter uma forma compacta que é fácil de memorizar na prova. Observamos que e^{x}\csc x aparece em ambos os termos, então fatoramos:
f'(x) = e^{x}\csc x\big(1+x - x\cot x\big).
Se quiser uma factoração alternativa:
f'(x) = e^{x}\csc x\big(1 + x(1-\cot x)\big),
mas a forma anterior já é clara e suficiente.

Resposta

f'(x)=e^{x}\csc x\big(1+x - x\cot x\big)

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