Derive a função
(l)
(l)
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede sua derivada. Informações dadas e o que se pede:
- Pergunta: encontrar
, a derivada de em relação a . - Observação importante sobre onde a derivada existe: a função usa
, então (e sua derivada) só estão definidas quando (ou seja, para ). Vou pressupor que estamos em pontos onde .
Passo 2
Decisão do método (sem muita firula): a função é produto de duas partes que vou chamar de
e
, com
Vou usar a regra do produto para duas funções, que diz:
Explico rápido essa regra: ela vem de aproximar cada fator por sua expansão linear e multiplicar; o resultado é a soma da derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Aqui precisamos então de
e
.
Passo 3
Calcular
, onde
. Novamente isso é produto de
por
, então aplicamos a regra do produto:
Sabemos que
e
. Substituindo,
Podemos fatorar
para ficar mais enxuto:
Passo 4
Calcular
, onde
. Vou derivar usando a forma
e a regra da cadeia. Se
, então
Agora uso identidades trigonométricas para escrever essa forma de modo padrão:
e
. Assim
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do produto
substituindo
encontrados:
Escrevendo sem parênteses:
Passo 6
Fatorar os termos comuns para simplificar e obter uma forma compacta que é fácil de memorizar na prova. Observamos que
aparece em ambos os termos, então fatoramos:
Se quiser uma factoração alternativa:
mas a forma anterior já é clara e suficiente.