Determine a derivada de cada função abaixo
(u)
(u)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - Queremos
(a derivada de em relação a ). - Importante notar: para trabalhar com
e com potências reais sem entrar em complexos, consideramos o domínio (pois a expressão e estão bem definidas e reais para ).
Passo 2
Qual método usar? Aqui a base e o expoente dependem de
simultaneamente, então a técnica mais direta e eficiente é a diferenciação logarítmica (ou “log-diferenciação”). Vou explicar por quê e o que ela faz: quando temos uma função do tipo “base variável elevada a expoente variável”, tomar o logaritmo simplifica a expressão transformando potência em produto, e produtos são mais fáceis de derivar (usamos a regra do produto). Por isso escolhemos a diferenciação logarítmica em vez de tentar derivar diretamente.
Passo 3
A ideia da diferenciação logarítmica: tomar o logaritmo natural dos dois lados da igualdade. Começamos com
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados obtemos (usando a propriedade
):
Aqui expliquei a propriedade usada: para quaisquer
e
reais,
. Note que
garante
definido.
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo temos
, que é uma composição:
. Pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
. Escrevendo isso:
Do lado direito temos
, que é um produto de duas funções de
:
e
. A regra do produto diz que
Aqui
e
. Então
Passo 5
Igualando as derivadas obtidas no Passo 4:
Agora isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Voltamos à expressão original de
para reescrever a derivada em termos de
. Como
, substituímos:
Comentário final e lembrete: essa fórmula vale para
. Se precisar do valor numérico da derivada em um ponto (por exemplo
), basta substituir:
.