Determine a derivada de cada função abaixo
(u) y=x^{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função y = x^{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é y = x^{x}.
  • Queremos \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).
  • Importante notar: para trabalhar com \ln e com potências reais sem entrar em complexos, consideramos o domínio x>0 (pois a expressão \ln x e x^{x} estão bem definidas e reais para x>0).

Passo 2

Qual método usar? Aqui a base e o expoente dependem de x simultaneamente, então a técnica mais direta e eficiente é a diferenciação logarítmica (ou “log-diferenciação”). Vou explicar por quê e o que ela faz: quando temos uma função do tipo “base variável elevada a expoente variável”, tomar o logaritmo simplifica a expressão transformando potência em produto, e produtos são mais fáceis de derivar (usamos a regra do produto). Por isso escolhemos a diferenciação logarítmica em vez de tentar derivar diretamente.

Passo 3

A ideia da diferenciação logarítmica: tomar o logaritmo natural dos dois lados da igualdade. Começamos com
y = x^{x}.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados obtemos (usando a propriedade \ln(a^{b}) = b\ln a):
\ln y = \ln\bigl(x^{x}\bigr) = x \ln x.
Aqui expliquei a propriedade usada: para quaisquer a>0 e b reais, \ln(a^{b}) = b\ln a. Note que x>0 garante \ln x definido.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo temos \ln y, que é uma composição: \ln(y(x)). Pela regra da cadeia, a derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}. Escrevendo isso:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr) = \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}.
Do lado direito temos x\ln x, que é um produto de duas funções de x: u(x)=x e v(x)=\ln x. A regra do produto diz que
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr) = u'\,v + u\,v'.
Aqui u'=1 e v'=\dfrac{1}{x}. Então
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr) = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.

Passo 5

Igualando as derivadas obtidas no Passo 4:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + 1.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx} multiplicando ambos os lados por y:
\frac{dy}{dx} = y\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 6

Voltamos à expressão original de y para reescrever a derivada em termos de x. Como y = x^{x}, substituímos:
\frac{dy}{dx} = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
Comentário final e lembrete: essa fórmula vale para x>0. Se precisar do valor numérico da derivada em um ponto (por exemplo x=2), basta substituir: \dfrac{dy}{dx}\big|_{x=2} = 2^{2}\bigl(\ln 2 + 1\bigr) = 4(\ln 2 + 1).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=x^{x}\bigl(\ln x+1\bigr)

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